分野: 整数問題

正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図可能 $\iff$ $n=2^Np_1\cdots p_k$ となる $0$ 以上の整数 $N$ と互いに異なるフェルマー素数 $p_1,\cdots,p_k$ が存在する。

命題1（ゴールドバッハ予想）：
$2$ より大きな偶数は2つの素数の和で表すことができる。

Lucasの定理：
任意の素数 $p$ と非負整数 $m,n$ に対して，
$\displaystyle{}_{m}\mathrm{C}_{n}\equiv\prod_{i=0}^k{}_{m_i}\mathrm{C}_{n_i}\:\mathrm{mod}\:p$

ただし，$m_km_{k-1}\cdots m_1m_0$ は $m$ の $p$ 進数表示，$n_kn_{k-1}\cdots n_1n_0$ は $n$ の $p$ 進数表示。

3桁のカプレカ数は $495$ のみである。
4桁のカプレカ数は $6174$ のみである。

クンマーの定理（Kummer’s theorem）
${}_m\mathrm{C}_n$ が素数 $p$ で割り切れる回数は $m-n$ と $n$ を $p$ 進数表示して足し算をしたときの繰り上がりの回数と等しい。

以下を満たす実数 $r$ をリウヴィル数（リュービル数）と言う：
任意の正の整数 $n$ に対して，ある正の整数 $p,q\:(q\geq 2)$ が存在して
$0< \left|r-\dfrac{p}{q}\right| < \dfrac{1}{q^n}$ を満たす。

$\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}=\cos \dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$（$n$ 乗して $1$ になる数のうちの一つ）とおく。多項式
$F_n(x)=\displaystyle\prod_{k\in A_n} (x-\zeta_n^k)$
を円分多項式（円周等分多項式）と言う。

整数 $a,b$ を用いて $a+bi$ と表される複素数をガウス整数（複素整数）と呼ぶ。

全ての桁が $1$ である整数をレプユニット数と言う。

中心が $\left(\dfrac{q}{p},\dfrac{1}{2p^2}\right)$ で直径が $\dfrac{1}{p^2}$ である円を並べると美しい。

定理：
すべての原始ピタゴラス数は，$\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ に対して，3つの行列 $A,B,C$ のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし，
$A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}$，
$B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$