分野: 指数・対数関数

(i) $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
(ii) $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$
(iii) $\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b$

(i)$ e^x\geq 1\qquad(x\geq 0)$
(ii)$ e^x\geq 1+x\qquad(x\in \mathbb{R})$
(iii)$ e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}\qquad(x\geq 0)$
(iiii)$ e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\qquad(x\in \mathbb{R})$

紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は
$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$

双曲線関数と呼ばれる重要な関数が以下の式で定義される：
$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\
\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\
\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$y=e^{-ax}\sin bx,y=e^{-ax}\cos bx (a,b > 0)$ は減衰曲線と呼ばれる重要な関数。

自然対数の底：
数列 $a_n=(1+\dfrac{1}{n})^n$ の極限は存在するので，その値を $e$ と定義して自然対数の底（ネイピア数）と呼ぶ。

ネイピア数 $e$ は無理数である

$\log_{10} 2\simeq 0.3010$
$\log_{10} 3\simeq 0.4771$
$\log_{10} 7\simeq 0.8451$
$\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x$

任意の正の実数 $x$ に対して $\log x\leq x-1$

方針1：指数関数のグラフは，以下の三点を調べて，それをいい感じにつなげれば簡単に書ける

• $x$ が十分小さいとき（$x\to -\infty$）
• $x=0$ のとき
• $x$ が十分大きいとき（$x\to\infty$）

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$

正の実数 $a$ と任意の実数 $x$ に対して $a^x$ を以下のように定義する：
1． $x$ が正の整数のとき，$a^x=$（$a$ を $x$ 回かけたもの）
2． $x$ が $0$ のとき，$a^x=1$
3． $x$ が負の整数のとき，$a^x=\dfrac{1}{a^{-x}}$
4． $x$ が有理数 $\dfrac{q}{p}$ のとき，$a^x=(\sqrt[p]a)^q$
5． $x$ が無理数のとき，$f(x)=a^x$ が連続関数になるようにつなげる

底の変換公式
$a,b,c > 0$，$a,c\neq 1$ のとき
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

$\log_{10}N$ の整数部分から $N$ の桁数が求まる。小数部分から $N$ の最高位の数を計算することができる。

1. $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$
2. $\log_a M^p=p\log_a M$
3. $\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a M$
4. $\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$
5. $\log_a 1=0$
6. $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$