以下の公式は教科書に載っていない公式ですが,使いこなせばかなりの時間短縮になります。
(i) $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
(ii) $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$
(iii) $\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b$
以下の公式は教科書に載っていない公式ですが,使いこなせばかなりの時間短縮になります。
(i) $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$
(ii) $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$
(iii) $\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b$
微分法を用いて不等式を示す問題の背景。
以下の不等式は指数関数のマクローリン展開が元になっています。
(i)$ e^x\geq 1\qquad(x\geq 0)$
(ii)$ e^x\geq 1+x\qquad(x\in \mathbb{R})$
(iii)$ e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}\qquad(x\geq 0)$
(iiii)$ e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\qquad(x\in \mathbb{R})$
紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は
$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$
この曲線は懸垂線またはカテナリーと呼ばれる非常に有名な曲線です。懸垂線に関する入試問題はたまに出題されるので,知っておくべき性質をまとめた後に導出を紹介します。
双曲線関数と呼ばれる重要な関数が以下の式で定義される:
$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\
\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\
\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
$y=e^{-ax}\sin bx,y=e^{-ax}\cos bx (a,b > 0)$ は減衰曲線と呼ばれる重要な関数。
自然対数の底:
数列 $a_n=(1+\dfrac{1}{n})^n$ の極限は存在するので,その値を $e$ と定義して自然対数の底(ネイピア数)と呼ぶ。
今回は入試でもしばしばテーマになる数列「nのn乗根」について,覚えておくべき性質を3つ解説します。
$a_1=1,a_2=\sqrt{2},a_3=\sqrt[3]{3},\cdots$
ネイピア数 $e$ は無理数である
$\log_{10} 2\simeq 0.3010$
$\log_{10} 3\simeq 0.4771$
$\log_{10} 7\simeq 0.8451$
$\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x$
これらの値は覚えておくと便利です。
任意の正の実数 $x$ に対して $\log x\leq x-1$
対数を1次関数で近似したいときに使える有名不等式です。入試でも頻出です。
方針1:指数関数のグラフは,以下の三点を調べて,それをいい感じにつなげれば簡単に書ける
$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$
指数関数 $e^x$ の高階微分,マクローリン展開($x=0$ でのテイラー展開),指数関数と三角関数の関係式について解説します。
正の実数 $a$ と任意の実数 $x$ に対して $a^x$ を以下のように定義する:
1. $x$ が正の整数のとき,$a^x=$($a$ を $x$ 回かけたもの)
2. $x$ が $0$ のとき,$a^x=1$
3. $x$ が負の整数のとき,$a^x=\dfrac{1}{a^{-x}}$
4. $x$ が有理数 $\dfrac{q}{p}$ のとき,$a^x=(\sqrt[p]a)^q$
5. $x$ が無理数のとき,$f(x)=a^x$ が連続関数になるようにつなげる
底の変換公式
$a,b,c > 0$,$a,c\neq 1$ のとき
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
$\log_{10}N$ の整数部分から $N$ の桁数が求まる。小数部分から $N$ の最高位の数を計算することができる。
常用対数を用いて大きな数の桁数と最高位の数を計算する方法と例題2問を解説します。