ルジャンドルの定理
$n!$ に含まれる素因数 $p$ の数は以下のように表される:
${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$
ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。


Muirheadの不等式:
各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と,任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して,$[a]\succeq [b]$ ならば
$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$
等号成立条件は,$a=b$ または, $x_1=x_2=\cdots=x_n$


$0$ 以上 $1$ 以下の数字をランダムに独立に $n$ 個生成する。このとき,小さい方から $k$ 番目の数の期待値は $\dfrac{k}{n+1}$ となる。

最大値や最小値など「小さい方から $k$ 番目」が従う確率分布の公式について考えます。最後に公式を一様分布に適用することで,上記の性質を確認します。


関数 $y=f(x)$ が2点 $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$ を通ることがわかっているとする。このとき,関数 $f(x)$ を,2点を通る線分:
$y=y_1+\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
で近似する手法を線形補間と言う。


対角化可能な正方行列 $A$ について,全ての固有値が $-1$ より大きく $1$ より小さいとき,
$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}A^k=I+A+A^2+\cdots$
は $(I-A)^{-1}$ に収束する。

行列の無限等比級数について考えます。記事の後半では,より一般的な主張を述べます。

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