この記事では大きな行列を四つに区切ったブロック行列 $T=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ について考えます。
$A$ と $D$ は正方行列とします。
ブロック行列の行列式
$T$ の行列式を，$A,B,C,D$ を用いて表す公式です！
$A$ が正則なとき， $\det T=\det A\det (D-CA^{-1}B)$
$D$ が正則なとき， $\det T=\det D\det (A-BD^{-1}C)$
〜公式の覚え方〜
2×2行列の行列式が $ad-bc=a(d-\dfrac{bc}{a})$ と書けることを意識すると覚えやすいです。
$D-CA^{-1}B$ なのか $D-BA^{-1}C$ なのか迷いがちですが，行列のサイズを意識すると前者が正しいと分かります。また「時計回り」と覚えてもよいです（$C,A,B$ が時計回りの順になっている）。
〜公式が活躍する例〜
例えば行列の性質を数学的帰納法で証明するときに活躍します（$B$ が縦ベクトル，$C$ が横ベクトルのとき，$T$ のサイズは $A$ のサイズより1大きいです，また $D-CA^{-1}B$ はスカラーとなり扱いやすいです）。
行列式の公式の証明
二つ目の式も同様なので，一つ目の式のみ示します。証明だけなら簡単です。
証明
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}I&O\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}$
が成立する（右辺を計算すれば簡単に分かる，余談も参照）。
積の行列式は行列式の積であり，右辺の一つ目と三つ目の行列の行列式は $1$ なので，
$\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det A\det (D-CA^{-1}B)$ を得る。
〜余談（なぜこのような変形が思いつくのか）〜
まず，$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ の $A$ を使って $B$ を消します（列変形のノリ）：
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\\C&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$
次に，$A$ を使って $C$ を消します（行変形のノリ）
$\begin{pmatrix}I&O\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\C&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$
この二つを合わせた式に，左から $\begin{pmatrix}I&O\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&O\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}$
右から $\begin{pmatrix}I&-A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}$
をかけると目標の式を得ます。
ブロック行列の逆行列
$T$ の逆行列を，$A,B,C,D$ を用いて表す公式です！
$A$ と $S=D-CA^{-1}B$ が正則なとき，
$T^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix}$
なお，さらに $D$ が正則なら逆行列の補助定理を使うことで左上部分は$(A-BD^{-1}C)^{-1}$ と簡潔に書くことができます。
逆行列の公式の導出
行列式のときに得た式を使えばあとは計算するのみです。
証明
行列式のときに得た式より，
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}\\=\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}A&O\\O&S\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}I&O\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}^{-1}\\
=\begin{pmatrix}I&-A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&S^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&O\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix}$