分野: 不等式

シュワルツの不等式：
${\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2}\\$

3変数の対称な不等式（または巡回式）証明の問題は2変数の不等式を3つ足し合わせる，または掛け合わせることで証明することが多い

条件付きの対称な不等式の証明問題は，全ての項の次数を一致させる（斉次式にする）と見通しがよくなることが多い。（斉次式化）

Schur（シュール）の不等式：
$r>0, x, y, z\geq0$ に対して，
$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$ 等号成立条件は，
$x=y=z$ or $x, y, z$ のうち1つが0で残りの2つが等しい場合。

イェンゼンの不等式（Jensen，凸関数の不等式）
$f(x)$ が凸関数のとき，
任意の $\lambda_i\geq 0,\:x_i\:(i=1,\cdots,n),\:\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$
に対して，
${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)}\geq f({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i})$

三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は，Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。
Ravi変換：$a=x+y, b=y+z, c=z+x$

重み付き相加相乗平均の不等式：
非負実数 $a_1, a_2,\cdots, a_n$ と重み $w_1, w_2, \cdots, w_n$ に対して以下の不等式が成立する。
$\displaystyle\sum_{i=1}^nw_ia_i\geq \displaystyle\prod_{i=1}^na_i^{w_i}$
等号成立条件は $a_1=a_2=\cdots =a_n$

分数の和を下から抑える公式：
$b_i>0 (i=1\cdots n)$ のとき，以下の不等式が成立する。
$\sum\dfrac{a_i^2}{b_i}\geq \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$
等号成立条件は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であること。
シグマの和は $1$ から $n$ まで取る。

任意の実数 $a, b, c$ に対して，
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
等号成立条件は，$a=b=c$

Muirheadの不等式：
各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と，任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して，$[a]\succeq [b]$ ならば
$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$
等号成立条件は，$a=b$ または， $x_1=x_2=\cdots=x_n$

Nesbittの不等式：
$a, b, c>0$ のとき以下の不等式が成立する。
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$

並べ替え不等式（rearrangement inequality）：
$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n\\y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$，
$1, 2, \cdots, n$ の並べ替え $\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ に対して，
$\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{\sigma(i)}\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}$

チェビシェフの不等式（Chebyshev’s sum inequality）：
$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n\\y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$，
に対して，
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i)\geq\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}$

ヘルダーの不等式：
$a_{ij}\geq 0,w_i > 0, \displaystyle\sum_{i=1}^mw_i=1$ のとき，
$\displaystyle\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})^{w_i}\geq \sum_{j=1}^n(\prod_{i=1}^ma_{ij}^{w_i})$
等号成立条件は
$m$ 本のベクトル$(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})\:(j=1,2,\cdots ,m)$ たちが全て平行

条件式 $abc=1$ を持つ不等式証明の問題では以下のいずれかの変換を用いるとうまくいく場合が多い。
変換1：$a=\dfrac{x}{y}, b=\dfrac{y}{z}, c=\dfrac{z}{x}$
変換2：$a=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{z}$

isolated fudging:
$f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)\geq k$
を証明する代わりに
$f(a, b, c)\geq \dfrac{ka^r}{a^r+b^r+c^r}$
を証明する手法

ルートの和を上からおさえる公式：
$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\leq\sqrt{(a^2+b^2)(x+y)}$

Karamataの不等式：

• $[a]\succeq [b]$ を満たす実数の列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$
• $f(x)$ は微分可能で凸

このとき，
$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)\geq f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_n)$

ニュートン（Newton）の不等式：
$n$ 変数の $k$ 次の基本対称式を $S(n,k)$ とおき，$d(n,k)=\dfrac{S(n,k)}{{}_n\mathrm{C}_{k}}$ とおく。
このとき， $d(n,k)^2\geq d(n,k-1)d(n,k+1)$

ミンコフスキー（Minkowski）の不等式：
$1\leq p\leq\infty$ のとき，
$\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p$

三角不等式：
$x$ の「大きさ」を $\|x\|$ と書くとき，いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する
$\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$

問題

非負実数 $a,b,c$ に対して
$\sqrt[3]{(\dfrac{a+b}{2})(\dfrac{b+c}{2})(\dfrac{c+a}{2})}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}$
を証明せよ。

累乗平均の不等式（power mean inequality）:
任意の非負の実数 $x_k$ たちと正の実数 $p$ に対して
$f(p)=\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}$
とおくと $f(p)$ は単調増加

ベルヌーイの不等式：
任意の正の整数 $n$ と$-1$ より大きい実数 $x$ に対して，
$(1+x)^n\geq 1+nx$

分数を含む不等式は通分して解くと場合分けしなくてすむのでおすすめ。

マクローリン（Maclaurin）の不等式
$n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき，
$d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$

フランダース（Flanders）の不等式：
任意の三角形 $ABC$ について，
$\sin A\sin B\sin C\leq\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3ABC$