分野: 平面図形

三辺の長さが $a, b, c$ の三角形の外接円の半径を $R$, 面積を $S$ とおくとき以下の美しい関係が成立する。
$S=\dfrac{abc}{4R}$

3辺の長さが $a, b, c$ の三角形の面積 $S$ は,
$s=\dfrac{a+b+c}{2}$
と置くと，
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
で計算できる。この公式をヘロンの公式と言う。

内接円の半径を $r$,外接円の半径を $R$ とおくとき,外心 $O$ と内心 $I$ との距離 $d$ は以下の式で表される：
$d^2=R^2-2Rr$

トレミーの定理：円に内接する四角形 $ABCD$ において, $AB×CD＋AD×BC＝AC×BD$

ブラーマグプタの公式；
円に内接する四角形 $ABCD$ において $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ とおくと，四角形 $ABCD$ の面積は，
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし， $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

ブレートシュナイダーの公式：
四角形 $ABCD$ において，$AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$, $∠BAD+∠BCD=θ$とおくと，
四角形の $ABCD$ の面積 $S$ は，
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta}{2})}$
ただし，$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

傍心に関する性質は内心に関する性質とほとんど同じ。傍心，傍接円に関して迷ったらまずは内心，内接円を考えるべし。

最大角が $120^{\circ}$ 未満の三角形 $ABC$ においてはフェルマー点は三角形の内部に存在して， $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ}$

フランクモーリーの定理：
任意の三角形 $ABC$ に対して，3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を $P, Q, R$ とおくとき三角形 $PQR$ は正三角形である。

$1：ae=bd\\
2：(a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2}\\
3：f^2=ab-de$

中線定理（パップスの中線定理）とは，図において
$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$
が成立するという定理。ただし，$M$ は $BC$ の中点。

チェバの定理：
図において，
$\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$
が成立する。これをチェバの定理と言う。

スチュワートの定理：
三角形 $ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $P$ に対して，
$b^2\cdot BP+c^2\cdot CP\\=a(BP\cdot CP+AP^2)$

九点円の定理：
三角形 $ABC$ において，以下の9点は同一円周上にある。
三辺の中点 $A_M,B_M,C_M$
垂線の足 $A_H,B_H,C_H$
垂心と各頂点の中点 $A_N,B_N,C_N$

シュタイナーレームス（Steiner-Lehmus）の定理：
三角形 $ABC$ において $\angle B$ の二等分線と $AC$ の交点を $D$，$\angle C$ の二等分線と $AB$ の交点を $E$ とおく。
$BD=CE$ ならば $\angle B=\angle C$

根心の存在定理：
3つの円が互いに2点で交わるとき，三本の根軸は一点で交わる。

三角形の自由度は $3$ である。すなわち，三角形に関して（独立な）3個の情報が与えられたら残りの情報も分かる

任意の円は相似である。
特に，接する2つの円の相似の中心は接点である

ケージーの定理(Casey’s Theorem)：
互いに交わらない4つの円 $O_1,O_2,O_3,O_4$ がそれぞれ点 $A,B,C,D$ で別の円 $O$ に（この順番に）内接しているとき,円 $i$ と $j$ の共通外接線の長さを $l_{ij}$ とおくと，
$l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24}$

三角形 $ABC$ において各頂点から向かいの辺に下ろした3本の垂線は一点で交わる。その点を垂心と呼ぶ。

定理：三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とおく。 $D$ から辺 $BC$ と垂直な直線と内接円の交点を $E$ とおく。さらに $AE$ と $BC$ の交点を $F$ とおくとき， $BD=CF$

問題

正方形の4頂点を結ぶ方法で，使う線分の長さの総和が最も短いものを求めよ

問題

鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $\angle PAB=\angle BCA,$ $\angle CAQ=\angle ABC$ となるように取る。また，$AM$ の中点が $P$，$AN$ の中点が $Q$ となるように $M,N$ を取る。
このとき $BM$ と $CN$ の交点 $X$ が $ABC$ の外接円上にあることを証明せよ。

アポロニウスの定理：
2点 $A,B$ からの距離の比が $m:n$ で一定である点の軌跡は円である。これをアポロニウスの円と呼ぶ。

円に外接する四角形 $ABCD$ において，
性質1：$a+c=b+d$
性質2：$S=\sqrt{abcd}\sin\dfrac{\theta}{2}$

三角形の五心と各頂点までの距離は素早く導出できるようになっておきましょう！

三角形の成立条件（存在条件）：三辺の長さが $a,\:b,\:c$ である三角形が存在する必要十分条件は，
$a+b > c$ かつ $b+c > a$ かつ $c+a > b$

複比(Cross-ratio)：
同一直線上の四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ に対して複比を，
$(A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}$ と定義する。

調和点列：
同一直線上に四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ がこの順にあるとき，
1：$AP:PB=AQ:QB$ (線分 $AB$ を同じ比で内分する点 $P$ と外分する点 $Q$)
ならば四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ を調和点列と言う。

第一余弦定理：三角形 $ABC$ に対して，
$a=b\cos C+c\cos B$
$b=c\cos A+a\cos C$
$c=a\cos B+b\cos A$

ニュートンの定理：
中心が $O$ である円に外接する四角形 $ABCD$ において対角線 $AC$ と $BD$ の中点をそれぞれ $M,\:N$ とおくと，$M,\:N,\:O$ は同一直線上にある。この直線をニュートン線と呼ぶ。

反転変換：
中心 $O$，半径 $r$ の円 $\Gamma$ がある。このとき，円 $\Gamma$ による反転を以下のように定義する。
$P$ の行き先は，半直線 $OP$ 上の点で，$OP\times OP’=r^2$ を満たす点 $P’$

デザルグの定理：
三角形 $ABC$ と $A’B’C’$がある。このとき，
$AA’$，$BB’$，$CC’$が一点 $O$ で交わる
→ $AB$ と $A’B’$の交点 $P$，$BC$ と $B’C’$の交点 $Q$，$CA$ と $C’A’$の交点 $R$ は同一直線上にある。

メネラウスの定理：
右の図において， $\dfrac{AD}{DB}\dfrac{BE}{EC}\dfrac{CF}{FA}=1$

等角共役点：三角形 $ABC$ と点 $P$ がある。
角の頂点を通る直線 $l$ と角の二等分線に関して対称な直線 $m$ を $l$ の等角共役線という。
$AP,\:BP,\:CP$ の等角共役線は一点で交わり，これを $P$ の等角共役点という。

ジュルゴンヌ点(Gergonne point)：

三角形 $ABC$ において内接円と各辺の接点を $D,E,F$ とおくとき，$AD,BE,CF$ は一点で交わる。この点をジュルゴンヌ点という。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）：$\angle C=90^{\circ}$ であるような直角三角形において，$a^2+b^2=c^2$

• 難関大の図形問題は「どの道具を使って解答するか」から考える必要があることも。
• 昔の東大入試では簡単な問題も出題されている。

Kiepert（キエペルト，キーペルト）の定理：
三角形 $ABC$ の外側（または内側）に相似な二等辺三角形 $ABF,BCD,CAE$ をつくる。このとき，$AD,BE,CF$ は一点 $X$ で交わる。