物理

スネルの法則(屈折の法則)をフェルマーの原理を用いて証明

フェルマーの原理とスネルの法則の関係についてです。物理の話題ですが後半はかなり数学です(座標計算&合成関数の微分)。

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斜方投射の公式の導出と飛距離を伸ばす方法

空気抵抗を考慮しない斜方投射において,一番遠くまで飛ばすには45度の角度で投げればよい。

斜方投射についての公式(軌跡,到達地点など),および45度が最適である理由を解説。さらに,斜方投射で飛距離を伸ばす方法を考察。

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反発係数を考慮した自由落下の有名問題

反発係数を考慮した自由落下の問題では,

(理論上)衝突の回数は無限大だが,停止するまでにかかる時間 TT は有限: T=2hg1+e1eT=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\cdot\dfrac{1+e}{1-e}

反発係数を考慮した高校物理の基本的な問題として,自由落下&バウンドの運動を解説します。等比数列の和が登場するなど,数学要素も強い話題です。

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二次元極座標における運動方程式とその導出

二次元において運動方程式を極座標で記述すると,

m(r¨rθ˙2)=Frm(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_r

m1rddt(r2θ˙)=Fθm\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=F_{\theta}

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水平線,地平線までの距離の計算方法と例

水平線までの距離はだいたい4km〜5km

水平線(地平線も同じ)までの距離を計算する方法を解説します。前半はガッツリ数学・物理ですが後半は小学生でも楽しめる内容です。

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運動量保存則とエネルギー保存則の導出

運動方程式を

  • tt で積分すると運動量保存則を導出できる

  • vv をかけて tt で積分すると力学的エネルギー保存則を導出できる

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地球の公転軌道が楕円であることの導出

地球は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描く。

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断熱変化におけるポアソンの式の導出

理想気体の断熱変化において pVγ=pV^{\gamma}=(一定)

ただし,γ\gamma は比熱比と呼ばれる量であり,

単原子分子理想気体では 53\dfrac{5}{3}

ポアソンの式の導出および比熱比の値について解説します。

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単振り子の周期(近似解と厳密解の比較)

単振り子の周期は

T=4lg0π2dϕ1sin2θ02sin2ϕT=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}

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球の慣性モーメントの2通りの求め方

質量が MM ,半径が RR の球の(中心を通る軸まわりの)慣性モーメントは I=25MR2I=\dfrac{2}{5}MR^2

大学物理(力学)の基本的な公式です。2通りの方法で導出します。

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ナビエ-ストークス方程式の導出

ナビエ-ストークス方程式

ρ{vt+(v)v}=p+μ2v+ρf \rho \left\{\dfrac{\partial{\boldsymbol{v}}}{\partial{t}} + \left(\boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}\right\} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \rho \boldsymbol{f}

ナビエ-ストークス方程式(英語でNavier–Stokes equations,略してNS方程式とも呼ばれます)は,古典力学における「運動方程式」を流体力学的に書き直したものです。これの導出について説明します。また,ナビエストークス方程式の一般解が存在するかどうかは,数学的に解明されていません。これについても少し触れます。

→ ナビエ-ストークス方程式の導出