分野: 複素数

共役複素数の性質：
性質1：ある複素数と共役複素数との積は非負実数。
性質2：実数係数多項式$=0$ の解の共役複素数も解。

ドモアブルの定理：
$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

複素数のルートは2つある。それらは複素数平面で原点対称な位置に存在する

複素数 $\alpha,\beta,\gamma$ に対応する複素数平面上の三点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ が正三角形となる必要十分条件は，
$(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2=0$

複素数 $\alpha,\beta$ に対応する二点 $A(\alpha),B(\beta)$ と原点 $O$ でつくられる三角形 $OAB$ の面積は，
$\dfrac{1}{4}|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta|=\dfrac{1}{2}|\mathrm{Im}(\alpha\overline{\beta})|$

複素数平面における直線の方程式の一般形は，
$\overline{a}z-a\overline{z}+b=0$
（ただし，$a$ は任意の複素数で $b$ は純虚数）

シムソンの定理：
三角形 $ABC$ と点 $D$ がある。 $D$ から直線 $BC,\:CA,\:AB$ に下ろした垂線の足を $P,\:Q,\:R$ とおく。
このとき，$D$ が三角形 $ABC$ の外接円上にあるならば，$P,\:Q,\:R$ は同一直線上にある。この直線をシムソン線と呼ぶ。

複素数平面（ガウス平面）
複素数 $z=x+iy$ を直交座標の$(x,\:y)$ に対応させ，$x$ 軸を実軸に，$y$ 軸を虚軸におきかえたものを複素数平面とよぶ。

一次分数変換：
$a,b,c,d$ を $ad\neq bc$ なる複素数とする。複素数値に対して複素数を返す関数で，
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ という形のものを一次分数変換（またはメビウス変換）という。

定理1：1の $n$ 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。
定理2：1の $n$ 乗根は全部で $n$ 個あるが，それらの和は0である。

複素数 $z=a+bi$ に対して，その絶対値を $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ で定める。