共役複素数の性質:
性質1:ある複素数と共役複素数との積は非負実数。
性質2:実数係数多項式$=0$ の解の共役複素数も解。
特に性質2が重要です。導き方も含めて覚えておきましょう。
共役複素数の性質:
性質1:ある複素数と共役複素数との積は非負実数。
性質2:実数係数多項式$=0$ の解の共役複素数も解。
特に性質2が重要です。導き方も含めて覚えておきましょう。
ドモアブルの定理:
$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$
美しい複素数の等式です。
$1$ の三乗根 $\omega$ (オメガ)に関する話題です。
複素数の存在意義などについて解説。
複素数のルートは2つある。それらは複素数平面で原点対称な位置に存在する
複素数の累乗根の話です。
複素数 $\alpha,\beta,\gamma$ に対応する複素数平面上の三点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ が正三角形となる必要十分条件は,
$(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2=0$
複素数 $\alpha,\beta$ に対応する二点 $A(\alpha),B(\beta)$ と原点 $O$ でつくられる三角形 $OAB$ の面積は,
$\dfrac{1}{4}|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta|=\dfrac{1}{2}|\mathrm{Im}(\alpha\overline{\beta})|$
この公式の使い方と二通りの証明を解説します。
複素数平面における直線の方程式の一般形は,
$\overline{a}z-a\overline{z}+b=0$
(ただし,$a$ は任意の複素数で $b$ は純虚数)
シムソンの定理:
三角形 $ABC$ と点 $D$ がある。 $D$ から直線 $BC,\:CA,\:AB$ に下ろした垂線の足を $P,\:Q,\:R$ とおく。
このとき,$D$ が三角形 $ABC$ の外接円上にあるならば,$P,\:Q,\:R$ は同一直線上にある。この直線をシムソン線と呼ぶ。
複素数平面を図形問題へ応用するためには基本的な計算に慣れておく必要があります。以下の公式は当サイトでは断りになしに使っていくので,基本的な計算に困ったり分からない部分があれば確認してみてください。
複素数平面(ガウス平面)
複素数 $z=x+iy$ を直交座標の$(x,\:y)$ に対応させ,$x$ 軸を実軸に,$y$ 軸を虚軸におきかえたものを複素数平面とよぶ。
一次分数変換:
$a,b,c,d$ を $ad\neq bc$ なる複素数とする。複素数値に対して複素数を返す関数で,
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ という形のものを一次分数変換(またはメビウス変換)という。
定理1:1の $n$ 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。
定理2:1の $n$ 乗根は全部で $n$ 個あるが,それらの和は0である。
1の累乗根の基本的な話題です。複素数平面の美しい性質。
複素数 $z=a+bi$ に対して,その絶対値を $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ で定める。
複素数の絶対値についての性質とその証明を整理しました。
複素数,虚数,純虚数の意味および関連する話題について。
平面図形,複素数平面における美しい定理を3つ紹介します。