分野: 複素数


複素数 $z$ について,虚部を $(-1)$ 倍した複素数のことを,共役な複素数と言い,$\overline{z}$ で表すことが多い。例えば,$2+3i$ の共役な複素数は $2-3i$

この記事では「複素数の共役」に関連する重要な2つの性質について解説します。


複素数 $\alpha,\beta$ に対応する二点 $A(\alpha),B(\beta)$ と原点 $O$ でつくられる三角形 $OAB$ の面積は,
$\dfrac{1}{4}|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta|=\dfrac{1}{2}|\mathrm{Im}(\alpha\overline{\beta})|$

この公式の使い方と二通りの証明を解説します。


シムソンの定理

シムソンの定理:
三角形 $ABC$ と点 $D$ がある。 $D$ から直線 $BC,\:CA,\:AB$ に下ろした垂線の足を $P,\:Q,\:R$ とおく。
このとき,$D$ が三角形 $ABC$ の外接円上にあるならば,$P,\:Q,\:R$ は同一直線上にある。この直線をシムソン線と呼ぶ。


複素数平面を図形問題へ応用するためには基本的な計算に慣れておく必要があります。以下の公式は当サイトでは断りになしに使っていくので,基本的な計算に困ったり分からない部分があれば確認してみてください。


定理1:1の $n$ 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。
定理2:1の $n$ 乗根は全部で $n$ 個あるが,それらの和は0である。

1の累乗根の基本的な話題です。複素数平面の美しい性質。