集合,命題,論証

鳩ノ巣原理の意味と例(身近な例から超難問まで)

鳩ノ巣原理:

nn 人を mm グループに分けると nm\lceil \dfrac{n}{m}\rceil 人以上いるグループが少なくとも1つは存在する。

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数学的帰納法によるハゲのパラドックス

全ての人はハゲである

数学好きなら知っておくべき有名なパラドックスを解説します。

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ド・モルガンの法則の解説

ド・モルガンの法則:

1:AB=AB\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}

2:AB=AB\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

1’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap\cdots\cap\overline{A_n}

2’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n}=\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup\cdots\cup\overline{A_n}

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ラッセルのパラドックスの簡単な解説と例

今回は自分自身を含む集合について考えてみます。ラッセルのパラドックスという有名な話題です。

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シンプソンのパラドックス

シンプソンのパラドックス(Simpson’s paradox):

「全体で見たときの相関」と「分割して見たときの相関」が逆になってしまうことがある。

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必要条件と十分条件の意味・3つの覚え方・例題

「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」について,基礎からわかりやすく解説します。

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集合関数,劣モジュラ性とは

集合関数と劣モジュラ性についての基本事項を解説します。

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背理法の意味といろいろな例

背理法とは

「命題が正しくないと仮定する」

「その結果,矛盾してしまう」

「よって,命題は正しい」

という流れで証明を行う手法のこと。

背理法の意味と,いろいろな例について解説します。

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対偶を用いた証明のいろいろな具体例

対偶:

PP ならば QQ 」に対して,「 QQ でないならば PP でない」のことを対偶と言います。

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開区間,閉区間の意味と関連する話題

開区間,閉区間の定義,空集合や全体集合が開かつ閉であることなどについて解説します。

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集合の記号の意味まとめ

集合の記号とその意味について整理しました。高校数学で習うものと習わないものに分けました。

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全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)について

「任意の」とは「全ての」という意味です。 \forall という記号を使って表すことがあります。

この記事では,数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉,そしてそれらを表す記号 \forall\exists について解説します。

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カントールの定理の証明と対角線論法

カントールの定理:

任意の集合 AA に対して,A<2A|A| < |2^A|

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シェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックス

平面内の部分集合 SS で,以下の条件を満たすようなものが存在する。

条件「 SS の分割 {S1,S2}\{S_1,S_2\} が存在して,S1S_1 を平行移動すると SS と一致し,S2S_2 を回転すると SS と一致する」

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カントール集合とその性質

区間 [0,1][0,1] から「線分を三等分して真ん中を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合をカントール集合という。

カントール集合という不思議な集合を紹介します。

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ベルンシュタインの定理とその証明

ベルンシュタインの定理

集合 A,BA,B について,AA から BB への単射があり,BB から AA への単射があれば AA から BB への全単射(一対一対応)がある。

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補集合の定義と具体例・問題例

集合 AA補集合とは,「全体」の中で AA に含まれない要素をすべて集めたもの。

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有理数と無理数の意味といろいろな例

有理数無理数についてまとめました。例をたくさん使ってわかりやすく説明します。

有理数と無理数 → 有理数と無理数の意味といろいろな例

円周率が無理数であることの証明

定理

円周率 π\pi は無理数である。

この記事では,円周率が無理数である非常に美しい証明を紹介します。

必要な知識は高校レベルの微積分だけです。少々トリッキーな手法で難しいですが,是非議論を追ってみてください。

→ 円周率が無理数であることの証明