原始ピタゴラス数の木

原始ピタゴラス数 $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ に対して，$A\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ，$B\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ，$C\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ も原始ピタゴラス数になることを示せばよい。

まず，

$A\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-2b+2c\\2a-b+2c\\2a-2b+3c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$

とおくと，$p^2+q^2=r^2$ となることが簡単な計算でわかる。

また，$c>a,b$ に注意すると，$p,q,r>0$ であることもわかる。よって，$(p,q,r)$ はピタゴラス数である。

次に，$(p,q,r)$ が原始ピタゴラス数でないと仮定する。つまり，$p,q,r$ がいずれも $d\:(\geq 2)$ の倍数であると仮定する。すると，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&-1&2\\-2&-2&3\end{pmatrix}$ であり各成分が整数なので，

$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ の各成分も $d$ の倍数になり，$(a,b,c)$ が原始ピタゴラス数であることに矛盾。よって，$(p,q,r)$ は原始ピタゴラス数である。

$B\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ，$C\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ についても同様である。ちなみに，

$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}$ ，$C^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\2&1&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}$

となる。

まず，$c$ が最小の場合，つまり $c=5$ の場合について確認する。

$c=5$ の場合の原始ピタゴラス数は $(3,4,5)$ のみである。

また，原始ピタゴラス数に $A,B,C$ のいずれかをかけると第三成分は大きくなるので，$(3,4,5)$ が2回以上現れることはない。

次に「 $c\leq r-1$ であるすべての原始ピタゴラス数 $(a,b,c)$ が，ちょうど1通りの方法で生成できる」が正しいと仮定して，$c=r$ の場合でも正しいことを証明する。つまり，$(p,q,r)$ という原始ピタゴラス数があれば，それがちょうど1通りの方法で生成できることを証明する。

さて，$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ ，$B^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ ，$C^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ という3つのベクトルを考えると，各成分が正であるものが1つだけ存在する（→※補足）

それが，$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ であるとする（他の場合も同様）。

このとき，$B^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ ，$C^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ はいずれかの成分が $0$ 以下なので，主張2により $(3,4,5)$ から生成することはできない。よって，$(p,q,r)$ の生成方法と，$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ の生成方法は1対1に対応する。

また，このとき主張2の証明と同様にして，$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ が原始ピタゴラスであることがわかる。さらに，三角不等式より第三成分は $r$ より小さいこともわかる。よって，帰納法の仮定により，$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ は，$(3,4,5)$ からちょうど1通りの方法で生成できる。

よって，$(p,q,r)$ も $(3,4,5)$ からちょうど1通りの方法で生成できる。

$(p,q,r)$ が原始ピタゴラス数であるとき，ある正の整数 $m,n$ を用いて，

$p=m^2-n^2,q=2mn,r=m^2+n^2$ と表すことができます。→ピタゴラス数の求め方とその証明

よって，各成分を $m,n$ を用いて表すと，

$A^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&-1&2\\-2&-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m^2-n^2\\2mn\\m^2+n^2\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}-m^2+4mn-3n^2\\-2mn+4n^2\\m^2-4mn+5n^2\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}(m-n)(3n-m)\\-2n(m-2n)\\(m-2n)^2+n^2\end{pmatrix}$

$B^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(m-n)(3n-m)\\2n(m-2n)\\(m-2n)^2+n^2\end{pmatrix}$

$C^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(m-n)(m-3n)\\2n(m-2n)\\(m-2n)^2+n^2\end{pmatrix}$

よって，$m<2n$ ，$2n<m<3n$ ，$3n<m$ のいずれかが成立することに注意すると，各成分が正であるものが1つだけ存在することがわかる。

（$m=2n$ である原始ピタゴラス数は $(3,4,5)$ だけであり，$m=3n$ の場合は原始ピタゴラス数にならない）