分野: 三角比・三角関数

${\rm sin}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${\rm cos}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${\rm tan}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

(i) $\sin x\leq x\qquad(x\geq 0)$
(ii) $\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}\qquad(x\in \mathbb{R})$
(iii) $\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\qquad(x\geq 0)$
(iiii) $\cos x\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\qquad(x\in \mathbb{R})$

(i)$ A+B+C=\pi$ のとき
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C$
(ii) $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ のとき
$\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}$

三倍角の公式：
$\sin3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\
\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\$

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$, 外接円の半径を $R$ とするとき以下の式が成立する：
$r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

三角形の内角における和積・積和公式
$A+B+C=\pi$ のとき以下の関係式が成立する：
（$\sin$ 和積） $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
（$\sin$ 積和） $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$
（$\cos$ 和積） $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1$
（$\cos$ 積和） $\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)$

四倍角の公式は加法定理から導ける，オイラーの公式（ド・モアブルの定理）からも導ける。

正弦定理：
三角形 $ABC$ において， $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

オイラーの公式：
$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\dfrac{x}{2^n}\right)=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}$

定理1（チェビシェフ多項式）：
$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せる

（位相が等差数列なら）複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる：
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\sin(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\cos(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\cos(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

$y=\sin x$ の逆関数を $y=\mathrm{Arcsin}x$ などと書き，逆三角関数と呼ぶ。

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$, $\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}$, $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$

三角関数の合成公式（サイン）：
（$a$ と $b$ のいずれかが $0$ でないとき）
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
ただし，$\alpha$ は $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角度。

三角関数の加法定理：任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して
1． $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
2． $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
3． $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
4． $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
（さらに，$\alpha,\beta,\alpha\pm\beta$ の $\tan$ が存在するとき，）
5． $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
6． $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

度数法よりも弧度法が本質的に優れているという訳ではないが，度数法を使うと比例定数 $\dfrac{\pi}{180}$ がいろいろなところに出現してとてもめんどくさいので弧度法を使うのがよい。

$\sin x$ および $\cos x$ は微分すると位相が90度進む。積分すると位相が90度遅れる。

三角関数の積和公式
1． $\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$
2． $\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$
3． $\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

正接定理：三角形 $ABC$ において，
$\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}=\dfrac{a-b}{a+b}$

倍角の公式：
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
=2\cos^2\theta-1\\
=1-2\sin^2\theta$
$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

三角関数の相互関係：

1. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
2. $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
3. $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
4. $1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$

タンジェントの加法定理：
（$\tan$ の中身が全て $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍でないような任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して）
$\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$