因数分解

アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理：
ある素数 $p$ が存在して以下の3つの条件を満たすとき，整数係数多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ を（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず $k$ 次式以上の因数がでてくる。

• $a_0$ は $p$ の倍数だが $p^2$ の倍数でない
• $a_1$ から $a_{k-1}$ まで全て $p$ の倍数
• $a_k$ が $p$ の倍数でない

パターン1ーA：普通に因数定理が使える場合
パターン1ーB：二次式×二次式に分解できる場合
パターン2：相反方程式
パターン3：複二次式
パターン4：方程式が解けない場合

交代式とは，どの2つの変数を入れ替えても $-1$ 倍になるような式のことです。例えば $a^2-b^2$ という式は，$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2-a^2$ となり，元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。

ソフィー・ジェルマン(Sophie Germain)の恒等式：
$a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$

$n$ 乗の差の因数分解公式
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

有名な因数分解公式：
$a^3+b^3+c^3-3abc\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$