最終更新:2019/04/20

交代式の因数分解と実践的な例題

分野: 式の計算  レベル: 入試対策

交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても $-1$ 倍になるような式のことです。例えば $a^2-b^2$ という式は,$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2-a^2$ となり,元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。

このページでは,交代式の意味と,交代式を活用した因数分解の方法について解説します。

対称式と交代式

対称式交代式はセットで覚えましょう。

対称式とは,どの2つの変数を入れ替えても元の値と変わらない式のことです。例えば $a^2+b^2$ という式は,$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2+a^2$ となり,元の式と同じなので対称式です。

交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても $-1$ 倍になるような式のことです。例えば $a^2-b^2$ という式は,$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2-a^2$ となり,元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。このページでは,多項式の交代式について考えます。

2変数の交代式の因数分解

定理1:
2変数 $a,b$ の交代式は,$(a-b)$ を因数に持つ。

例えば,多項式 $a^n-b^n$ の因数分解について考えましょう。この式は,$a$ と $b$ を交換すると $b^n-a^n$ となり,元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。よって,$(a-b)$ を因数に持ちます。

実際,
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
などと因数分解できます。
→因数分解公式(n乗の差、和)

3変数の場合の交代式

2変数の場合よりも3変数の因数分解が頻出です。 $f(a,b,c)$ のどの2変数を入れ替えても値がマイナス1倍になるとき,$f(a,b,c)$ を3変数の交代式と言います。

定理2:
3変数の交代式 $f(a,b,c)$ は$(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)$ と因数分解することができる。さらに,$g(a,b,c)$ は対称式である。

例題

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$
の因数分解を考える。この多項式は,どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。
よって,$(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)$ と因数分解できるが,$g(a,b,c)$ は $0$ 次の対称式(=定数)であり,$a^2b$ の係数を比較することによって $g(a,b,c)=-1$ であることが分かる:
$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\
=-(a-b)(b-c)(c-a)$

次は4次式の例です。

例題

$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)$
の因数分解を考える。この多項式は,どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。
よって,$(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)$ と因数分解できるが,$g(a,b,c)$ は $1$ 次の対称式であり,$a^3b$ の係数を比較することによって $g(a,b,c)=a+b+c$ であることが分かる:
$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)\\
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

定理1の証明

2変数の交代式 $f(a,b)$ が,$(a-b)$ を因数に持つことを証明します。定理1の証明には,因数定理を使います。

証明

$f(a,b)$ は交代式なので,
$f(b,b)=-f(b,b)$ より,$f(b,b)=0$ である。

次に,$f(a,b)$ を $a$ の1変数関数 $g(a)$ と見て因数定理を用いる。すると,
$g(b)=f(b,b)=0$
なので因数定理から $g(a)$ は $(a-b)$ で割り切れる。

ちなみに,3変数以上の場合についても,因数定理を使って同様に証明することができます。

難しい例題

以下の例はシュタイナーレームスの定理の証明中に出てくるゴツイ方程式です。

例題

方程式
$c(1-2b)(1-c)^2=b(1-2c)(1-b)^2$
を解く。これは $f(b,c)=f(c,b)$ という形の方程式になっている。左辺に集めると $f(b,c)-f(c,b)=0$ という形になり,左辺は交代式である。よって $(b-c)$ を因数に持つことが分かる。

方程式を見た時に $b=c$ が解の1つになっていることに気づかないと4次式のゴツさに根負けしまいます。

交代式は,対称式よりはずいぶんとマイナーですが覚えておきましょう。

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