スカラー三重積とベクトル三重積

3つの空間ベクトルから定まるスカラー三重積ベクトル三重積について,定義と性質を紹介します。

スカラー三重積とベクトル三重積

スカラー三重積とは

スカラー三重積の定義

3つの空間ベクトル aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} に対して

aundefined(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) をスカラー三重積と言う。

  • 三重積の定義には,内積 \cdot外積 ×\times が登場します。→ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ
  • スカラー三重積は「1本のベクトル」と「2本のベクトルの外積」の内積です。
  • よって,スカラー三重積はスカラーです。
計算例

aundefined=(1,0,0),bundefined=(0,2,0),cundefined=(0,0,3)\overrightarrow{a}=(1,0,0),\overrightarrow{b}=(0,2,0),\overrightarrow{c}=(0,0,3) に対して,スカラー三重積 aundefined(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) を計算しよう。

外積の定義より,bundefined×cundefined=(6,0,0)\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=(6,0,0) である。これと aundefined\overrightarrow{a} の内積なので,スカラー三重積は 66 になる。

スカラー三重積の性質

スカラー三重積の性質を3つ紹介します。以下では,各成分を aundefined=(ax,ay,az)\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)bundefined=(bx,by,bz)\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)cundefined=(cx,cy,cz)\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z) とします。

スカラー三重積の性質
  1. スカラー三重積と行列式:
     aundefined(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}) は,3つのベクトルを並べた行列 (axayazbxbybzcxcycz)\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{pmatrix} の行列式と等しい。

  2. スカラー三重積と体積:
    aundefined(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) は,aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} が張る平行六面体の(向き付き)体積と等しい。

  3. 循環性:
    aundefined(bundefined×cundefined)=bundefined(cundefined×aundefined)=cundefined(aundefined×bundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})

証明

スカラー三重積を成分表示すれば1~3がすべてわかる。

bundefined×cundefined=(byczbzcy,bzcxbxcz,bxcybycx) \overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=(b_yc_z-b_zc_y,b_zc_x-b_xc_z,b_xc_y-b_yc_x)

aundefined\overrightarrow{a} の内積を計算すると, aundefined(bundefined×cundefined)=axbyczaxbzcy+aybzcxaybxcz+azbxcyazbycx\begin{aligned} \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}) &= a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x\\ & \quad -a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x \end{aligned} となる。

  • 性質1は,上記の成分表示と行列式の定義から分かる。
  • 性質2は,上記の成分表示とサラスの公式から分かる。
  • 性質3は,上記の成分表示から分かる。

なお,性質3について aundefined(bundefined×cundefined)=aundefined(cundefined×bundefined)\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}) などは成立しません(1-1 倍される)。

ベクトル三重積とは

ベクトル三重積の定義

3つの空間ベクトル aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} に対して

aundefined×(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) をベクトル三重積と言う。

  • ベクトル三重積は「1本のベクトル」と「2本のベクトルの外積」の外積です。
  • よって,ベクトル三重積はベクトルです。

ベクトル三重積の性質

次は,ベクトル三重積に関する等式を2つ紹介します。

ベクトル三重積の性質
  1. aundefined×(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})
    =(aundefinedcundefined)bundefined(aundefinedbundefined)cundefined=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}

  2. aundefined×(bundefined×cundefined)+bundefined×(cundefined×aundefined)+cundefined×(aundefined×bundefined)=0undefined\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{0}

まずは,性質1について見てみます。bundefined×cundefined\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}bundefined\overrightarrow{b}cundefined\overrightarrow{c} に垂直なベクトルです。そして aundefined×(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})bundefined×cundefined\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c} に垂直なベクトルなので,結局 aundefined×(bundefined×cundefined)\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})bundefined\overrightarrow{b}cundefined\overrightarrow{c} が定める平面内のベクトルになります。

よって,ある実数 p,qp,q が存在して aundefined×(bundefined×cundefined)=pbundefined+qcundefined\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=p\overrightarrow{b}+q\overrightarrow{c} であることは分かります。実は p=aundefinedcundefinedp=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}q=aundefinedbundefinedq=-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} であるというのが上の性質1の主張です。

証明は成分計算でできます。

1の証明

上の等式の左辺の xx 成分は,

ay(bundefined×cundefined)zaz(bundefined×cundefined)y=ay(bxcybycx)az(bzcxbxcz)=aybxcyaybycxazbzcx+azbxcz\begin{aligned} &a_y(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})_z-a_z(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})_y\\ &= a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)\\ &= a_yb_xc_y-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x+a_zb_xc_z \end{aligned} (そんなにきれいな式ではない)

右辺の xx 成分は,

(axcx+aycy+azcz)bx(axbx+ayby+azbz)cx=aybxcy+azbxczaybycxazbzcx\begin{aligned} &(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_x\\ &= a_yb_xc_y+a_zb_xc_z-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x \end{aligned}

となり一致する。 yy 成分,zz 成分についても同様。

2の証明

性質1および,順番を入れ替えた式:

  • aundefined×(bundefined×cundefined)=(aundefinedcundefined)bundefined(aundefinedbundefined)cundefined\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}
  • bundefined×(cundefined×aundefined)=(bundefinedaundefined)cundefined(bundefinedcundefined)aundefined\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}
  • cundefined×(aundefined×bundefined)=(cundefinedbundefined)aundefined(cundefinedaundefined)bundefined\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}

を足し合わせることで,性質2: aundefined×(bundefined×cundefined)+bundefined×(cundefined×aundefined)+cundefined×(aundefined×bundefined)=0undefined \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{0} が分かる。

けっこうきれいな式が多いですが,個人的にはあまり使わないです。