最終更新:2019/04/21

二次関数の決定とその背景

分野: いろんな関数  レベル: 入試対策

二次関数の決定とは,与えられた条件を満たす二次関数を決定する(求める)問題のことです。

二次関数の決定は超頻出問題です。この記事では,二次関数の決定問題の解き方二次関数の決定問題の背景について解説します。また,発展としてラグランジュの補間公式についても紹介します。

二次関数の決定(パターン1)

二次関数の決定には大きく3つのパターンがあります。1つずつ解説します。

後述の例題1のように,通る3点が与えられる二次関数の決定問題は,
二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおいて,$a,b,c$ を計算する
という方法で解くことができます。

例題1

$(1,0), (2,3), (3,8)$ を通る二次関数を求めよ。

求める二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおく。
$(1,0)$ を通るので,$x=1,y=0$ を代入すると
$0=a+b+c$
同様に,$(2,3),(3,8)$ を通るので
$3=4a+2b+c$
$8=9a+3b+c$
この連立方程式を解くと,$a=1,b=0,c=-1$ となる。

よって,求める二次関数は $y=x^2-1$

二次関数の決定(パターン2)

後述の例題2のように,頂点や軸に関する条件が与えられる二次関数の決定問題は,
二次関数を $y=a(x-p)^2+q$ とおいて,$a,p,q$ を計算する
という方法で解くことができます。

例題2

頂点の座標が $(1,1)$ で $(2,2)$ を通る二次関数を求めよ。

求める二次関数を $y=a(x-p)^2+q$ とおく。
頂点の座標が $(1,1)$ なので,$p=q=1$ である。

よって,二次関数の式は
$y=a(x-1)^2+1$
となる。この式に $(2,2)$ を代入すると
$2=a(2-1)^2+1$
となる。これを解くと
$2=a+1$
$a=1$
となる。よって、求める二次関数は,
$y=(x-1)^2+1$

二次関数の決定(パターン3)

後述の例題3のように,$x$ 軸との交点(共有点)の条件が与えられる二次関数の決定問題は,
二次関数を $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ とおいて,$a,x_1,x_2$ を計算する
という方法で解くことができます。

例題3

$x$ 軸との交点が $(1,0)$ と $(2,0)$ で $(0,2)$ を通る二次関数を求めよ。

求める二次関数を $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ とおく。
$x$ 軸との交点が $(1,0)$ と $(2,0)$ なので,$x_1=1,x_2=2$ が分かる:
$y=a(x-1)(x-2)$

この式に $(0,2)$ を代入すると,
$2=a(-1)(-2)$

よって,$a=1$
つまり,求める二次関数は
$y=(x-1)(x-2)$

3つのパターンまとめ

パターン1:通る3点が与えられたら
$y=ax^2+bx+c$ とおいて,$a,b,c$ を計算する

パターン2:頂点や軸の情報が与えられたら
$y=a(x-p)^2+q$ とおいて,$a,p,q$ を計算する

パターン3:$x$ 軸との共有点が与えられたら
$y=a(x-p)(x-q)$ とおいて,$a,x_1,x_2$ を計算する

以下では,二次関数の決定問題の「パターン1」の背景を説明します。

二次関数の決定には条件が3ついる

二次関数を決定するためには,3つの条件が必要です。特に,パターン1で見たように,通る3点が与えられたら,二次関数は1つに決まります。

より一般に,通る $n+1$ 点が与えられたら $n$ 次の関数が1つ決まります。

定理:$n+1$ 点 $(x_i,y_i)\:(i=1,2,\cdots, n+1$,$x_i$ は互いに異なる)を通る $n$ 次以下の関数はただ1つ。

「$n$ 次以下」と書いたのは,以下のような例外がありうるからです。

例外:通る三点が直線上にある場合は,そのような二次関数は存在しない。(一次関数が1つ定まる)

ほとんどの場合はちょうど $n$ 次の関数が1つ定まります。

この定理は,因数定理を使って証明することができます。

定理の証明

$y=f(x),y=g(x)$ が題意を満たす $n$ 次以下の関数とすると,
$f(x_i)=g(x_i)\:(i=1,2,\cdots,n+1)$
なので因数定理より,
$f(x)-g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n+1})$
となる。
$a=0$ でないと右辺が $n+1$ 次になってしまうので $a=0$ である。
すなわち $f(x)=g(x)$

ちなみにこの定理は,ヴァンデルモンド行列の行列式(大学で学ぶ線形代数の知識)を用いて証明することもできます。→ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例

ラグランジュの補間公式

通る $3$ 点が与えられたときに二次関数は1つに決まることが分かりました。そして,この1つを一発で計算できる公式が「ラグランジュの補間公式」です。

$(a,A),(b,B),(c,C)$ を通る二次関数の方程式は,
$y=A\dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+B\dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+C\dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

実際に代入すれば与えられた三点を通ることが簡単に確認できます。美しいです。
「上記の二次関数は与えられた三点を通る」+「答えは1つしかない」→OK!
というロジックです。

しかし,この公式は分数がたくさん出てきて思いのほか計算が大変なので,二次関数の決定問題で使うのはオススメしません。一般的な $n$ 次関数の理論解析や数学オリンピックなどの難問でたまに役に立つので紹介しました。
→ラグランジュの補間公式とその応用例

僕は理論的に美しい定理も実戦で威力を発揮するテクニックのどちらも好きです

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