最終更新:2019/05/19

約数の個数の公式と平方数の性質

分野: 整数問題  レベル: 基本公式

約数の個数を求める公式:
約数の個数は「素因数分解して」「それぞれの指数に1を足して」「全部かけあわせる」ことで計算することができます。

約数の個数の公式について,計算例や証明を説明します。また,この公式から導ける平方数に関する重要な定理を解説します。

約数の個数の公式の使用例

例えば,$12$ の約数の個数を計算してみましょう。

実際に個数を数える方法:
$12$ の約数は,$1,2,3,4,6,12$ の $6$ 個

約数の個数の公式を使う方法:
手順1. 素因数分解
$12=2^2\times 3^1$

手順2. それぞれの指数に1を足す
$2$ の指数は $2$ なので1を足すと3
$3$ の指数は $1$ なので1を足すと2

手順3. 全部かけあわせる
$3\times 2=6$
つまり約数の個数は6個

約数の個数の公式の嬉しさ

大きい数字の約数の個数を計算したい場合は,1つずつ約数を数えるのは大変ですが,公式を使えば素早く計算できます。

例えば,$2^{99}3^{199}$ というとてつもなく大きい数について考えます。素因数分解されているので,約数の個数は「それぞれの指数に1を足して」「全部かけあわせる」ので
$(99+1)(199+1)=20000$
と分かります。

約数の個数の公式の証明

約数の個数が,なぜ「素因数分解して」「それぞれの指数に1を足して」「全部かけあわせる」ことで計算できるのか解説します。

$12$ の場合の説明:

約数の個数

例えば $12$ を素因数分解すると $2^2\cdot 3$ です。$2$ の指数を ${0,1,2}$ の中から一つ,$3$ の指数を ${0,1}$ の中から一つ選ぶと約数が決まります。

よって約数の個数は $3\times 2=6$ 個です。

一般的な証明:
$n$ の約数は $p_1^{b_1} p
_2^{b_2}\cdots p_k^{b_k}$(ただし,各 $i$ に対して $b_i$ は $0\leq b_i\leq a_i$ を満たす整数,$p_i$ は素数)という形の整数だけであり,これで全ての約数を表せる。
そのような $b_i$ の選び方は
$(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$
通りである。

つまり,約数の個数は「素因数分解して」「それぞれの指数に1を足して」「全部かけあわせる」と計算できる。

平方数の約数の個数は奇数

約数の個数の公式から導ける重要な定理を解説します。

正の整数 $n$ について,
$n$ が平方数 $\iff$ $n$ の約数の個数は奇数

$16$ は平方数である。約数は $1,\:2,\:4,\:8,\:16$ の五個(奇数個)

$12$ は平方数でない。約数は $1,\:2,\:3,\:4,\:6,\:12$ の六個(偶数個)

証明

$n=p_1^{a_1} p
_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解されているとき,$n$ が平方数であるというのは,平方数の定義より $a_1,\:a_2,\cdots,\:a_k$ がいずれも偶数であることと同値。

一方,$n$ の約数の個数が奇数であるというのは,約数の個数の公式より$(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$ が奇数であることと同値。
これは $a_1,\:a_2,\cdots,\:a_k$ がいずれも偶数であることと同値。

平方数の約数の個数の証明2

上記のように約数の個数の公式を使えば鮮やかに証明できますが,この公式を使わずとも以下のように証明できます。

約数の公式

証明

$m$ が $n$ の約数のとき,$\dfrac{n}{m}$ も $n$ の約数である。このことに注意すると,$n$ の約数を小さい順に $1=d_1,\:d_2,\cdots, d_N=n$ と並べたとき,$d_1d_N=n,\:d_2d_{N-1}=n$ などが成立する。つまり,大きい方と小さい方から一つずつとってくるとかけて $n$ になるペアができる。

$n$ が平方数のときは $m=\dfrac{n}{m}$ となる約数 $m$ が存在するので真ん中で一つ余る。それ以外は全てペアになる。よって約数の個数は奇数。
$n$ が平方数でないときは $m=\dfrac{n}{m}$ となる正の整数 $m$ が存在しないので,全てペアになる。よって約数の個数は偶数。

なお,この考え方を使う問題が国際数学オリンピックで出題されたこともあります。

単に「約数」と言うと「負の数」を含むかどうかがあいまいですね(この記事をはじめ,当サイトでは「正の約数」のことを単に「約数」と書いている箇所があります,ご注意ください。)

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