対数正規分布の例と平均，分散

人間は最初みんな資産を $C$ だけ持っている。人生のとあるイベント $i$ によって資産は $e^{Y_i}$ 倍される。ただし $Y_i$ は確率変数である。

イベント $1$ から $n$ まで起こった後の資産は $Ce^{Y_1+Y_2+\cdots +Y_n}$ である。

各 $Y_i$ がどのような分布に従うかは分からないが（長い時間経過したとき資産が減る人も増える人も同じくらいいるだろうということで）$Y_1+Y_2+\cdots +Y_n$ の期待値は $0$ と考える。

よって中心極限定理より，$n$ がそれなりに大きければ $Y=Y_1+Y_2+\cdots +Y_n$ は正規分布に従うと考えられる。つまり，資産 $Ce^Y$ は対数正規分布に従う。

平均 $\mu$，分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数は，

$g(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\dfrac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$

（→正規分布の基礎的な知識まとめ）

よって，$X=e^Y$ についての確率密度関数 $f(x)$ は，

$f(x)=g(y)\dfrac{dy}{dx}\\ =g(\log x)\dfrac{1}{x}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\dfrac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^yg(y)dy\\ =\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left\{-\dfrac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}+y\right\}dy$

ここで，$\exp$ の中身を平方完成すると，

$-\dfrac{y^2}{2\sigma^2}+\left(\dfrac{\mu}{\sigma^2}+1\right)y-\dfrac{\mu^2}{2\sigma^2}\\ =-\dfrac{1}{2\sigma^2}(y-\mu-\sigma^2)^2+\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}$

となるので，$y-\mu-\sigma^2=t$ と置換すると，

$E[X]=\exp \left(\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}dt$

定積分の値はガウス積分の公式より $\sqrt{2\pi}\sigma$ であるので，示したい式を得る。

期待値と分散に関する公式： $V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ より，$E[X^2]$ を計算すればよい。 $E[X^2]=E[e^{2Y}]$ であり，平均の導出と同じような方法で計算できる。