方程式を解く数学オリンピックの問題

$3$ つの式を辺々加える：

$x^2-2x+y^2-4y+z^2-6z=-14$

これを平方完成するとなんとうまくいく！

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=0$

よって，$x=1,y=2,z=3$ が必要条件。

実際これは問題の $3$ つの式を満たしているので唯一の解である。

第一式の $a^2$ 倍，第二式の $-2a$ 倍，第三式を足し合わせると，右辺は $0$ となり，左辺は，

$(a^2-2a+1)x_1+2(a^2-2\cdot 2^2a+2^4)x_2\\ +3(a^2-2\cdot 3^2a+3^4)x_3+\cdots\\ =(a-1)^2x_1+2(a-2^2)^2x_2+3(a-3^2)^2x_3\cdots$

となり二乗の和っぽくなる。

あとは簡単。これが $0$ に等しい条件は

「$a=1$ のとき $x_1$ 以外が $0$ となる。

$a=2^2$ のとき $x_2$ 以外が $0$ となる。

以下同様に $a=k^2$ のとき $x_k$ 以外が $0$ となる。

上記のいずれでもないとき $x_1$ から $x_5$ まで全て $0$ となる」

上記の $6$ パターンが必要条件。

実際 $a=k^2\:(1\leq k\leq 5)$ のとき $x_k=k$ でそれ以外を $0$ とすればもとの方程式の解となる。

また，最後のパターンは $a=0$ のときの解である，

以上から答えは，$0,1,4,9,16,25$ の $6$ 通り。

シュワルツの不等式より，

$(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)(x_1+2^5x_2+3^5x_3+4^5x_4+5^5x_5)\\ \geq (x_1+2^3x_2+3^3x_3+4^3x_4+5^3x_5)^2$

ところが問題の方程式が解を持つとき，左辺も右辺も $a^4$ となるので上記の不等式で等号が成立する。あとはシュワルツの不等式の等号成立条件を丁寧に考えると解が得られる。

一つ目の方程式の左辺を $P(x)$，二つ目の方程式の左辺を $Q(x)$ とおく。

$Q(x)$ を $P(x)$ で割ると，

$Q(x)=P(x)(x+2)+x^3-5$

となる。 $P(x)=Q(x)=0$ のとき $x^3-5=0$ が必要。これを満たす実数は $x=\sqrt[3]{5}$ のみである。実際，代入して確認してみると $P(\sqrt[3]{5})=Q(\sqrt[3]{5})=0$ となる。