この記事では，複利法の意味と，複利計算の方法を詳しく解説します。
単利法と複利法のイメージ
単利法とは元金だけに利息が発生する方式です。
例えば「元金100万円」「利子10％」の場合
・1年目の利子は，$100\times 0.1=10$ 万円
・元金がそのままなら，2年目の利子も同じく $10$ 万円
というイメージです。
複利法とは毎年利子を元金に繰入れる方式です。
例えば「元金100万円」「利子10％」の場合
・1年目の利子は，$100\times 0.1=10$ 万円
・元金がそのままでも，利子との合計額は $110$ 万円なので，2年目の利子は $110\times 0.1=11$ 万円
というイメージです。
複利計算の公式
複利法の計算方法をもう少し詳しく解説します。
まず，単利法，複利法といった利息の計算について考えるときには，以下の4つの要素：
元金 $a$，年利率 $r$，年数 $n$，最終段階で持っている金額 $b$
を意識する必要があります。分野，問題，状況によっていろいろな表現が使われるので注意が必要です。
利息計算に使う数字のいろいろな表現
$a$：元金，元本，初期段階で持っている金額，現在価値（PV）
$r$：利息率，年利率，運用利率，利回り
$n$：考える期間（単位は「年」とすることが多い），運用期間
$b$：最終段階で持っている金額，将来価値（FV）
そして，複利法の計算では，基本的に以下の公式だけを覚えておけばOKです。
$b=a(1+r)^n$
複利計算の例１：将来価値の計算
一つの公式 $b=a(1+r)^n$ を覚えておくだけで $a,r,n,b$ のうち3つ分かれば残りの一つも分かるというのが重要です。以下，複利法の計算問題を３問解説します。
例題1
$3$ 万円を年利率 $2$ ％で運用したとき，$6$ 年後の金額を求めよ。
解答
$a=3,r=0.02,n=6$ として，
$3(1+0.02)^6\simeq 33785$ 円
複利計算の例２：年利率の計算
複利計算の公式 $b=a(1+r)^n$ を使って年利率 $r$ を計算してみます。
例題2
$100$ 万円を $10$ 年間運用して $150$ 万円にしたい。運用利率は年利何％にすればよいか。
解答
$100(1+r)^{10}=150$ を解けばよい。これを $r$ について解くと，
$r=\left(\dfrac{150}{100}\right)^{\frac{1}{10}}-1\simeq 0.041$
つまり，年利 $4.1$ ％で運用すればよい。
複利計算の例３：年数の計算
複利計算の公式 $b=a(1+r)^n$ を使って年数 $n$ を計算してみます。
例題3
$100$ 万円を預金して $200$ 万円にするには何年かかるか。ただし，年利は $0.5$ ％とする。単利法と複利法それぞれ求めよ。
解答
単利法の場合，$100(1+0.005n)=200$ を解いて $n=200$ 年
複利法の場合，$100(1+0.005)^n=200$ を解いて $n\simeq 139$ 年
複利計算の公式がなぜ成り立つのか
複利計算の公式：
$b=a(1+r)^n$
が成立する理由を説明します。緑色の部分がポイントです。
- 初期状態：
元金 $a$ - 1年経過時の金額：
「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で，$a+ar=a(1+r)$ - 2年経過時の金額：
「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，
$a(1+r)+$ $a(1+r)r$ $=a(1+r)^2$ - 3年経過時の金額：
「2年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，
$a(1+r)^2+$ $a(1+r)^2r$ $=a(1+r)^3$
同様に考えることで，$n$ 年後の金額は，
$b=a(1+r)^n$
となります。ちなみに，これは $n$ に関する等比数列です。
単利について
複利法に対して，単利法という計算方法もあります。単利法とは元金にのみ利子がかかる方式です。
- 初期状態：
元金 $a$ - 1年経過時の金額：
「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で，$a+ar=a(1+r)$ - 2年経過時の金額：
「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，$a(1+r)+ar=a(1+2r)$
同様に考えることで，$n$ 年後の金額は， $b=a(1+nr)$
（$n$ に関する等差数列）
ちなみに単利法の計算では $b=a(1+nr)$ が成立します。複利計算の公式よりも少し単純ですね。
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