0の階乗を1と定義する理由

理由1. 階乗の再帰式

$$5!=4!\times 5$$ $$4!=3!\times 4$$ $$3!=2!\times 3$$ $$2!=1!\times 2$$ という式が，階乗の定義から成り立ちます。これをもう一行下に続けると $$1!=0!\times 1$$ が成り立ってほしいですね。これは，$0!=1$ と定義すれば成り立ちます。

つまり，$0!=1$ と定義することで， $$(n+1)!=n!\times (n+1)$$ という式（階乗の再帰式）が $n=0$ でも成り立つので嬉しいです。

理由2. コンビネーション

$n$ 個のものから $r$ 個選ぶ場合の数を ${}_n\mathrm{C}_r$ とすると，$1\leqq r\leqq n-1$ のとき，$${}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$$ を満たします。 →順列と組合せの違いと例題

この式が $n=r$ のときにも成り立ってほしいです。つまり，$${}_n\mathrm{C}_n=\dfrac{n!}{n!0!}$$ が成り立ってほしいです。$n$ 個のものから $n$ 個選ぶ方法は一通りであり左辺は $1$ なので，$0!=1$ とする必要があります。

理由3. マクローリン展開

$0!=1$ と定義することでマクローリン展開の公式を $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ と簡潔に書くことができます。

例えば， $$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3!}-\cdots$$ $$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$$ という式を $$e^x=\dfrac{x^0}{0!}+\dfrac{x^1}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}-\cdots$$ $$\cos x=\dfrac{x^0}{0!}-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$$ と書くことができます。調和が取れていて美しいです！

理由4. ガンマ関数

実は，$n\geqq 1$ に対して $$n!=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n}e^{-t}dt$$ という関係式が成立します。

$0!=1$ と定義すれば，この関係式が $n=0$ でも成立します。

詳しくは ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質 をどうぞ。

• $0!=0$ と定義したくなる気持ちも分かりますが，$0!=1$ と定義した方がいろいろ都合がよいです。

• どう都合がよいかと言うと，$0!=1$ とすることで，正の整数の階乗を含む「様々な関係式」が $0$ の階乗の場合にも成立するようになり統一的に扱える（場合分けが不要）となります。

• この記事では「様々な関係式」を説明することで，$0!=1$ という定義を納得してもらうのが目標でした。