2015/07/30

四点が同一平面上にあるための二つの条件

分野: 座標,ベクトル  レベル: 入試対策

四点が同一平面上にある条件1(ベクトル)
三次元空間内の四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある
$\iff$
三点 $A,B,C$ が同一直線上にある,または
$\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。

四点が同一平面上にあるための条件二つ(ベクトルの条件,行列式の条件)と例題を解説します。

条件1の説明

ほとんど当たり前ですが,一応軽く説明しておきます。

説明

  • $A,B,C$ が同一直線上にあれば $D$ がどこにあろうと四点は同一平面上にある。
  • $A,B,C$ が同一直線上にないとき,三点を通る平面が一つ定まる。その平面上の点は $p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ という形で表される(逆に平面外の点はこの形では表現できない)。

例題

例題

四点 $A(1,0,4),B(-2,1,0),C(1,1,1),D(x,0,1)$ が同一平面上にあるとき $x$ の値を求めよ。

解答

$\overrightarrow{AB}=(-3,1,-4)$,$\overrightarrow{AC}=(0,1,-3)$ より $A,B,C$ は同一直線上にない。

よって条件1より,
$\begin{pmatrix}x-1\\0\\-3\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix}–3\\1\\-4\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$ を満たす実数 $p,q$ が存在するような $x$ を求めればよい。

下の二つの式:$p+q=0,-4p-3q=-3$ を解くと $p=3,q=-3$
これを一番上の式に代入すると,
$(x-1)=3\cdot(-3)-3\cdot 0$
よって,$x=-8$

行列式を用いた条件

ここから高校数学の範囲を少し逸脱します。

$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1,z_1)$,$\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2)$,$\overrightarrow{AD}=(x_3,y_3,z_3)$ とおきます。

四点が同一平面上にある条件2(行列式)
三次元空間内の四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある
$\iff \det\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}=0$

$\det\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}\\
=y_1z_2x_3+z_1x_2y_3+x_1y_2z_3-z_1y_2x_3-x_1z_2y_3-y_1x_2z_3$
です。

一見かなり複雑ですが,わりと簡単な構造の式です。「左上から右下に向かう方向にかけてたす」ー「右上から左下に向かう方向にかけてたす」と覚えればOKです。

条件1と違って場合分けは不要,美しいです!

条件2の説明

四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある,
$\iff$ 四面体 $ABCD$ のがつぶれている(体積が $0$)
$\iff$ 上記の行列式が $0$

ただし,最後で上記の行列式が四面体 $ABCD$ の体積の $6$ 倍になるという定理(→サラスの公式とその証明)を使いました。

例題の別解

行列式は高校数学の範囲外なので記述式の答案で使うのは危険です。検算には役立ちます!

例題(再掲)

四点 $A(1,0,4),B(-2,1,0),C(1,1,1),D(x,0,1)$ が同一平面上にあるとき $x$ の値を求めよ。

別解

$\overrightarrow{AB}=(-3,1,-4)$,$\overrightarrow{AC}=(0,1,-3)$,$\overrightarrow{AD}=(x-1,0,-3)$ であるので,四点が同一平面上にある条件は,
$\det\begin{pmatrix}-3&1&-4\\0&1&-3\\x-1&0&-3\end{pmatrix}=0$
これを計算すると,
$9-3(x-1)+4(x-1)=0$
$9+x-1=0$
$x=-8$ となる。

適当に数値で例題を作っても答えが汚くならないタイプの問題はありがたいです。

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