ルジャンドルの定理
$n!$ に含まれる素因数 $p$ の数は以下のように表される:
${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$
ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。


Muirheadの不等式:
各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と,任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して,$[a]\succeq [b]$ ならば
$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$
等号成立条件は,$a=b$ または, $x_1=x_2=\cdots=x_n$


二次元極座標平面上で
$r=ae^{b\theta}$
と表される曲線を対数螺旋(または等角螺旋、ベルヌーイの螺旋)と言う。

対数螺旋を題材に,極座標において面積,曲線の長さを求める方法を復習します。


$\tan x$ のマクローリン展開($x=0$ におけるテイラー展開)は
$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\cdots$

$\tan x$ の $n$ 階微分を $n=5$ くらいまで計算してみましょう。いくつか面白い性質が発見できます。