ルジャンドルの定理
$n!$ に含まれる素因数 $p$ の数は以下のように表される:
${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$
ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。


Muirheadの不等式:
各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と,任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して,$[a]\succeq [b]$ ならば
$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$
等号成立条件は,$a=b$ または, $x_1=x_2=\cdots=x_n$

2016/12/30
分野: 積分 レベル: 大学数学

$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$

Planck の法則から Stefan–Boltzmann 定数を計算するときに登場する広義積分です[1]。

2016/12/17
分野: その他 レベル: 大学数学

連続最適化問題の有名なクラス:
LP:線形計画問題
QP:二次計画問題
QCQP:二次制約つき二次計画問題
SOCP:二次錐計画問題
SDP:半正定値計画問題

(QP,QCQP の二次項の行列 $Q$ が半正定値という制限のもと)下に行くほど表現力が高い問題です。

2016/12/11
分野: 整数問題 レベル: マニアック

フォードの円

中心が $\left(\dfrac{q}{p},\dfrac{1}{2p^2}\right)$ で直径が $\dfrac{1}{p^2}$ である円を並べると美しい。

フォードの円と呼ばれる美しい円たちについて紹介します。