ルジャンドルの定理
$n!$ に含まれる素因数 $p$ の数は以下のように表される:
${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$
ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。


Muirheadの不等式:
各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と,任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して,$[a]\succeq [b]$ ならば
$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$
等号成立条件は,$a=b$ または, $x_1=x_2=\cdots=x_n$

2016/07/13
分野: 整数問題 レベル: 最難関大学

全ての桁が $1$ である整数をレプユニット数と言う。

$1$、$11$、$111$ などです。Rep(繰り返し)Unit($1$)という意味です。


$f(x)=\begin{cases}x&x\geq 0\\0&x< 0\end{cases}$
で表される関数をランプ関数と言う。

ランプ関数は、正規化線形関数、Rectified Linear Function などとも呼ばれます(名前は仰々しいですが、非常に単純な関数です)。


逆双曲線関数:
$y=\sinh x$ の逆関数は,$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
$y=\cosh x\:(x\geq 0)$ の逆関数は,$y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(1\leq x)$
$y=\tanh x$ の逆関数は,$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ $(-1< x<1)$


$n$ 次元実数ベクトル $x=(x_1,\cdots,x_n)$ を受け取って $n$ 次元実数ベクトル $y=(y_1\cdots,y_n)$
(ただし,$y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}$

を返す関数をソフトマックス関数と言う。

ニューラルネットワークなどに応用がある重要な関数「ソフトマックス関数」についてです。


  • 階乗:$n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの
  • 二重階乗:$n!!$ は一つおきにかけあわせたもの
  • 超階乗:$n\$$ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!$ 個乗せたもの

$\exp x$: 指数関数 $e^x$ のこと
$\ln x$: 自然対数 $\log_e x$ のこと
$\lg x$: 2を底とする対数 $\log_2 x$ のこと(を表す場合が多い)

いずれも高校数学では習わない記号ですが,(特に $\exp$,$\ln$ は)知っておくとよいでしょう。