2014/03/01

三角形の内角における和積公式


三角形の内角における和積・積和公式
$A+B+C=\pi$ のとき以下の関係式が成立する:
($\sin$ 和積) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
($\sin$ 積和) $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$
($\cos$ 和積) $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1$
($\cos$ 積和) $\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)$


重要なのは,この公式を丸々覚えることではなく,三角形の内角の三角関数の和は積に,積は和に変換できるという事実を覚えておき,その場で導出できるようになっておくことです。ちなみに,$A+B+C=\pi$ でなくて $A+B+C=2\pi$ のときなども同様な手法で和積,積和変換を行うことができます。

これらの式は三角形の性質を証明するときの三角関数の煩雑な計算の見通しを良くしてくれます。この公式は左辺も右辺も対称式だから対称性を崩すことなく計算できるからです。(通常の和積・積和公式は2つの項にしか適用できないので,三角形の性質を議論する際に用いると一度対称性を崩すことになり泥沼にハマりやすいです)

例えば,($\sin$ 和積)の利用例として,有名な公式 $r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$ を実に自然に証明することができます。
→外接円の半径と内接円の半径の関係

公式の証明

通常の和積・積和公式を用いて証明していきます。証明では一度対称性を崩すことになり煩雑な計算をすることになります。

$\sin$ 和積の証明

$\sin A +\sin B+\sin C\\
=2\sin \dfrac{(A+B)}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2} + (2 \sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2})\\
=2\cos \dfrac{C}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+2 \sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2} \\
=2\cos \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2}+\sin \dfrac{C}{2})\\
=2\cos \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{A+B}{2} )\\
=2\cos \dfrac{C}{2} \cdot 2\cos \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{B}{2}\\
=4\cos \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{C}{2} $

($\sin$ 積和の証明)
$\sin 2A +\sin 2B +\sin 2C \\
=2\sin (A+B) \cos(A-B) + 2\sin C \cos C\\
=2\sin C \cos(A-B)+2\sin C \cos C \\
=2\sin C(\cos(A-B) + \cos C) \\
=2\sin C(\cos(A-B) – \cos(A+B) )\\
=2\sin C \cdot 2\sin A \sin B \\
=4 \sin A \sin B \sin C $

($\cos$ 和積の証明→ $\sin$ 和積と同様の手順)
$\cos A +\cos B+\cos C\\
=2\cos \dfrac{(A+B)}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+ (1-2 \sin^2 \dfrac{C}{2})\\
=2\sin \dfrac{C}{2} \cos\dfrac{(A-B)}{2}+1-2\sin^2\dfrac{C}{2} \\
=2\sin \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2} -\sin \dfrac{C}{2})+1\\
=2\sin \dfrac{C}{2} (\cos \dfrac{A-B}{2} -\cos \dfrac{A+B}{2} )+1\\
=2\sin \dfrac{C}{2} \cdot 2\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2}+1\\
=4\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}+1 $

($\cos$ 積和の証明→ $\sin$ 積和と同様の手順)
$\cos 2A +\cos 2B +\cos 2C \\
=2\cos (A+B) \cos(A-B) + (2\cos^2 C-1)\\
=-2\cos C \cos(A-B)+2\cos^2 C -1 \\
=-2\cos C(\cos(A-B) – \cos C)-1 \\
=-2\cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B) )-1\\
=-2\cos C \cdot 2\cos A \cos B-1 \\
=-4 \cos A \cos B \cos C-1 $


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