2015/03/16

三次,四次,n次方程式の解と係数の関係とその証明

分野: 方程式,恒等式  レベル: 入試対策

三次,四次,$n$ 次方程式の解と係数の関係とその証明について解説します。三変数,四変数の基本対称式が登場。

なお,二次方程式の解と係数の関係およびその使い方,例題は二次方程式における解と係数の関係を参照して下さい。

三次方程式の解と係数の関係

三次方程式:$ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおくと,
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$

  • 三次方程式の解は一般に非常に汚い(→カルダノの公式と例題)のに解の和や積などの対称式は簡単に求めることができるのです!
  • 符号に注意して下さい(マイナスからはじまってマイナス,プラスが交互に登場)。
  • 証明は $n$ 次の場合を参照してください。

$2x^3+3x^2+x+1=0$ の解を求めるのは難しいが,それらの和は$-\dfrac{3}{2}$,積は$-\dfrac{1}{2}$ と分かる。

四次方程式の解と係数の関係

四次方程式:$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とおくと,
$\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a}$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\dfrac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-\dfrac{d}{a}$
$\alpha\beta\gamma\delta=\dfrac{e}{a}$

解の和と積(最初の式と最後の式)が特に重要です。ただ,四次以上の場合はあまり出ません。

n次方程式の解と係数の関係

3次と4次の解と係数の関係を眺めれば $n$ 次の解と係数の関係がどうなるか予想できると思います。

$n$ 次方程式:$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0$ の解を $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ とおく。また,$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ の $d$ 次の基本対称式を $e_d$ とおく。
このとき,$d=1,2,\cdots ,n$ に対して $e_d=(-1)^d\dfrac{a_{n-d}}{a_n}$

ただし,$n$ 個の数に対する $d$ 次の基本対称式とは「 $n$ 個のものから $d$ 個選んでかけ合わせてできるもの(全部で${}_n\mathrm{C}_d$ 通りある)を全て足しあわせたもの」です。

証明は $n$ 次の場合を参照してください。
三次,四次の解と係数の関係の左辺が基本対称式になっていることを確認してください。

証明

題意の $n$ 次方程式は,因数定理により
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\\
=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$
と因数分解できる。

$x^{n-d}$ 次の係数を比較すると
左辺は $a_{n-d}$
右辺は $a_n(-1)^de_d$(注)

よって,$a_{n-d}=a_n(-1)^de_d$
$e_d$ について解くと $e_d=(-1)^d\dfrac{a_{n-d}}{a_n}$

注:一番難しいポイント。
展開したときに $x^{n-d}$ に寄与する項は $x$ を $n-d$ 個,$-x_1,-x_2,\cdots -x_n$ の中から $d$ 個選んでかけあわせたもの(の $a_n$ 倍)。それらを全て足し合わせると基本対称式が出現する。

5次方程式以上になると基本対称式を書き下すのがとても大変です。

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