2014/03/28

調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+…=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}=\infty$


$\dfrac{1}{n}$ をどんどん足していくと無限大に発散するというのは非常に有名な公式です。この公式を背景とする入試問題もたまに出題されるので証明方法と一緒に覚えておきましょう。

一般的に無限級数の評価は

1,式変形による等式変形,不等式評価
2,積分を用いた不等式評価

のいずれかの方法で行います。この公式の場合はどちらの方法も通用します。

1:1+1/2+1/3+…を不等式で下からおさえる方法

おそらく一番有名な方法です。エレガントです。

証明

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} > 1+\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\\ > 1+\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8})\\=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$
この変形を一般化すると,以下の不等式が得られる:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2^p}\dfrac{1}{k} \geq 1+\dfrac{p}{2}$
$p\to\infty$ とすると右辺は発散するので左辺も発散する。
以上から題意は証明された。

2:1+1/2+1/3+…を不等式で下からおさえる方法その2

指数関数の有名不等式 $e^x\geq 1+x$ を用いた方法もあります。(→指数関数のマクローリン型不等式
Honsbergerによって発見された証明です。

証明

$\exp(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n})\\
=\exp(1)\exp(\dfrac{1}{2})\exp(\dfrac{1}{3})\exp(\dfrac{1}{4})\cdots\exp(\dfrac{1}{n})\\
\geq (1+1)(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})\cdots(1+\dfrac{1}{n})\\
=2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdot\cdots\cdot\dfrac{n+1}{n}\\
=n+1$
よって,$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\geq \log(n+1)$
$n\to\infty$ とすると右辺は発散するので左辺も発散する。

ちなみに,証明で用いた不等式の差の極限は収束することが知られており,その収束先をオイラー定数といいます。

オイラー定数: $\gamma=$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}
(\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\log (n+1))=$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}
(\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\log n)$

ただし、最後の等号は
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\log(n+1)-\log n)=\lim_{n\to\infty}\log(\dfrac{n+1}{n})=0$
より成り立つ。

3:積分を用いた1+1/2+1/3+…の発散証明

無限級数の評価で積分を用いるのは定石です。

調和級数の証明

証明

右の図より,$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\geq\int_{1}^{n+1}\dfrac{1}{x}dx=\log(n+1)$
となり方法2で導いたものと同じ不等式が得られる。
$n$ を無限大に飛ばすことで題意は示される。

ちなみに,図の赤い部分において $y=\dfrac{1}{x}$ よりも上側にはみ出た部分の面積を足し上げていくとオイラー定数になります。この図からオイラー定数が0.5より大きくて1よりも小さいことが分かります。

ちなみに,分数を交互に足し引きして $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots$ とした場合には交代級数と呼ばれ,その値は $\log 2$ に収束することが知られています。
→log2に収束する交代級数の証明

小学生でも意味が分かる奥深い問題だからこそおもしろい

Tag: 無限和,無限積の美しい公式まとめ

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学