2014/01/23

覚えておくと便利な三角比の値

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

${\rm sin}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${\rm cos}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${\rm tan}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

$15^{\circ}$ の倍数の三角比の値

sin15

$15^{\circ}$ の三角比の値は頭に入れておくとよいです。
三角比そのものの値を覚えていなくても,「 $15^{\circ}$,$75^{\circ}$,$90^{\circ}$ 」の直角三角形の辺の比は
$4:\sqrt{6}+\sqrt{2}:\sqrt{6}-\sqrt{2}$ 」と覚えてしまえば一瞬で図が書けるので式も導けます。
中学時代からお馴染みの「 $1:1:\sqrt{2}$ 」,「 $1:2:\sqrt{3}$ 」だけでなく「 $4:\sqrt{6}+\sqrt{2}:\sqrt{6}-\sqrt{2}$ 」もおさえておきましょう。
もちろん,半角の公式及び${\rm cos}30^\circ$ の値から上記の式は導くことができるし,1分以内に導けるようになっておくべきですが,値そのものを覚えておくと時間短縮になります。

$18^{\circ}$ の倍数の三角比の値

こちらは値を覚えるというよりも,導き方を覚えて $18^{\circ}$ の倍数の三角比の値は簡単に求めることができるという事実を知っていることが重要になります。
ここでは,$\sin18^{\circ}$ の値を代数的な計算で求める方法と,図形的に求める方法を紹介します。

導出1:三角関数の公式を用いる

$18^{\circ}=\theta$ とおく。
$\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}$ より,$\sin3\theta=\cos2\theta$
両辺を三倍角の公式,倍角の公式を用いて $\sin\theta$ に統一すると,
$-4\sin^3\theta+3\sin\theta=1-2\sin^2\theta$
この三次方程式を解くと,$\sin\theta=1,\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$
$0<\sin\theta<1$ より,$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

ちなみに,$\cos18^{\circ}$ も求めることができますが,2重根号が出てきます。

18sin

導出2:三角形の相似を利用する

図のような二等辺三角形 $ABC$ を考える。 $AB=AC=x$, $BC=1$ とする。$∠ABC$ の二等分線と辺 $AC$ との交点を $D$ とおくと,$AD=BD$ より,$CD=x-1$
また,$∠BCD=∠BDC=72^{\circ}$ となり,三角形 $ABC$ と三角形 $BCD$ が相似であることが分かる。
よって,$AB:BC=BC:CD$ から $x:1=1:x-1$
$x>0$ の解を求めて,$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
よって,$\sin18^{\circ}=\dfrac{\frac{1}{2}BC}{AB}=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

実は,上記の三角形 $ABC$ は正五角形の3つの頂点となっています。 $x$ は1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを表しており,有名な黄金比が登場します。トレミーの定理を使って求めることもできます。

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式