2015/05/01

東大数学(図形問題)のポイントと例題

分野: 平面図形  レベル: 最難関大学

  • 難関大の図形問題は「どの道具を使って解答するか」から考える必要があることも。
  • 昔の東大入試では簡単な問題も出題されている。

東大の問題とその解説を通じて「図形問題における道具選び」について考えます。

問題

東大1961前期第4問(文理共通問題)です。

東大1961第4問

問題

三角形 $ABC$ の各辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ $L,M,N$ を,$\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{1}{2}$ となるように取る。 $AL$ と $CN$ の交点を $P$,$AL$ と $BM$ の交点を $Q$,$BM$ と $CN$ の交点を $R$ とするとき三角形 $PQR$ と三角形 $ABC$ の面積比を求めよ。

50年以上も前の問題です!今の東大受験者ならほぼ確実に解けるであろう基本的な問題です。

図形的な考察による解法

まずはメネラウスの定理(→メネラウスの定理の覚え方と拡張)を用いた解法です。

$AP:PQ:QL$ を求めるのが第一の目標です。そうすれば対称性より他の線分比も分かり,面積比が計算できます。

解答1

メネラウスの定理より,
$\dfrac{AN}{NB}\dfrac{BC}{CL}\dfrac{LP}{PA}=1$
よって,$3LP=4PA$

メネラウスの定理による解法

再びメネラウスの定理より
$\dfrac{AM}{MC}\dfrac{CB}{BL}\dfrac{LQ}{QA}=1$
よって,$6LQ=QA$

この二つの式から $AP:PQ:QL=3:3:1$ が分かる。(→補足)
対称性から $CR:RP:PN=3:3:1$ なども分かる。

辺の比が分かったので,三角形と面積比の関係を駆使して $ABC$ の面積から $PQR$ の面積を作り出す。
$\frac{2}{3}|ABC|=|ALC|$
$\frac{3}{7}|ALC|=|PQC|$
$\frac{1}{2}|PQC|=|PQR|$

以上3つの式を辺々かけ合わせると $|ABC|=7|PQR|$ を得る。

補足:$AP:PQ:QL=1:a:b$ とおくと,二つの式から $3(a+b)=4$,$6b=1+a$ となり,これを解くと $a=1,b=\frac{1}{3}$ を得る。

注:「辺の比が分かれば面積比が分かる」という考え方は重要です。→三角形の面積比にまつわる公式たち

ベクトルによる解法

次はベクトルを使って機械的な計算で求める方法です。

解答1と同じく $AP:PQ:QL$ を求めに行きます。

解答2

$AB=\overrightarrow{b}$,$AC=\overrightarrow{c}$ とおき,この二本のベクトルで全てを表していく。

東大1961第4問

まず,$\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ であり,
$P$ は $NC$ 上にあるので($NP:PC=s:1-s$ とすると),
$\overrightarrow{AP}=(1-s)\dfrac{\overrightarrow{b}}{3}+s\overrightarrow{c}$ と書ける。
これと,$A,P,L$ が一直線上にあることから $\dfrac{1-s}{3}:s=2:1$
これを解くと $s=\dfrac{1}{7}$ となり,$NP:PC=1:6$ を得る。

同じことを $Q$ について行う($Q$ は $BM$ 上にあり,$A,Q,L$ が一直線上にあることを利用)と $BQ:QM=3:4$ を得る。

この二つの情報と対称性より $AP:PQ:QL=3:3:1$ を得る。

以下解答1と同様。

直交座標で計算

直交座標を設定しても機械的な計算で解答できますが,この問題の場合計算がわりと複雑になってしまいます。根性がある人はやってみてください。

各道具の特徴

(数学オリンピックはもちろんのこと)東大,京大をはじめ,難関大の図形問題はどの道具(図形的な考察orベクトルor座標)を使うのかが不明で自由度が高い問題も出題されます。

したがって,各道具の特徴を知り,問題に合わせて適切に選択する能力も必要になります。

各道具の特徴

図形的な考察:角度の情報に強い,ひらめきが必要な場合が多い,美しい&速い解法が多い
ベクトル:辺の比,平行,中点などの条件に強い,機械的な計算で突破できる,円に弱い,角度の条件に弱い
直交座標:直角に強い,機械的な計算で突破できる,気合いと根性が必要

直交座標は泥臭いので嫌われることが多いですが,僕は好きです。

Tag: 東大入試数学の良問と背景知識まとめ

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