チェビシェフ多項式

$n$ に関する帰納法で証明する。$n=1,\:2$ のとき成立。

$\cos$ の和積公式：
$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$

において $x=(n+2)\theta,\:y=n\theta$ とすると，

$\cos(n+2)\theta=2\cos(n+1)\theta\cos\theta-\cos n\theta$ となるので，

$n,\:n+1$ のときに成立すると仮定すると $n+2$ のときも成立。

さきほどの三項間漸化式 $$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$$ を解くだけ。$x$ があって複雑そうだが係数は $n$ に依存しないので三項間漸化式の3通りの解き方が使える。

特性方程式の解は

$t^2=2xt-1$

$t=x\pm\sqrt{x^2-1}$

あとは頑張って計算すると定理3を得る。

$$\begin{aligned} &T_n(\cos\theta)\\ &=\cos n\theta\\ &=\dfrac{e^{in\theta}+e^{-in\theta}}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\{(e^{i\theta})^n+(e^{-i\theta})^n\}\\ &=\dfrac{1}{2}\{(\cos \theta+i\sin \theta)^n+(\cos \theta-i\sin \theta)^n\}\\ &=\dfrac{1}{2}\{(\cos \theta+i\sqrt{1-\cos^2 \theta})^n+(\cos \theta-i\sqrt{1-\cos^2 \theta})^n\} \end{aligned}$$

$\cos\theta =x$ とおくと定理3を得る。

$\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}+\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$ を示せば良い。

$\theta=\dfrac{\pi}{7},\dfrac{3\pi}{7},\dfrac{5\pi}{7}$ はそれぞれ $7\theta=(2n-1)\pi\:(n=1,2,3)$ を満たすのでいずれの場合も $\cos 3\theta=-\cos 4\theta$ を満たす。

チェビシェフ多項式を用いて両辺を $\cos\theta$ だけで表す $(\cos\theta=c$ とおく）：

$4c^3-3c=-8c^4+8c^2-1$

$\theta=\pi$ が解であること，つまり $c=-1$ が解であることを利用して因数分解する：

$(8c^3-4c^2-4c+1)(c+1)=0$

ここで，$\theta=\dfrac{\pi}{7},\dfrac{3\pi}{7},\dfrac{5\pi}{7}$ はこの方程式の解であり，3つも $-1$ と異なるのでこの3つの解は，

$8c^3-4c^2-4c+1=0$ を満たす。

よって，解と係数の関係から示すべき式が成立することがわかる。