最終更新:2016/10/15

タンジェントの美しい関係式


(i)$ A+B+C=\pi$ のとき
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C$
(ii) $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ のとき
$\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}$

証明

(i)
$\tan A\\
=-\tan(\pi-A)\\
=-\tan(B+C)\\
=-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}$
分母を払って整理すると与式を得る。
(ii)
$\tan \alpha\\
=\dfrac{1}{\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\\
=\dfrac{1}{\tan (\beta+\gamma)}\\
=\dfrac{1-\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta +\tan \gamma}$
分母を払って整理すると与式を得る。

応用例:ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式の証明

図のように三角形 $ABC$ の内心を $I$,$I$ から各辺へ下ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ とおく。
同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので,

ヘロンの公式の証明

$AR=c-BR\\
=c-BP\\
=c-(a-CP)\\
=c-a+CQ\\
=c-a+b-AQ\\
=c-a+b-AR$
この式を $AR$ について解くと
$AR=s-a$
(この手法はよく用いられるので,この結果も覚えておくとよい)よって $\tan \alpha =\dfrac{r}{s-a}$
同様に $\tan \beta =\dfrac{r}{s-b}$ ,$\tan \gamma =\dfrac{r}{s-c}$
ここで,$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ より公式(ii)が使えて,
$\dfrac{s-a}{r}+\dfrac{s-b}{r}+\dfrac{s-c}{r}=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$
この式を変形していくと,
$r^2(3s-a-b-c)=(s-a)(s-b)(s-c)\\
(rs)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$
ここで,三角形の面積と内接円の半径の関係式を用いて,
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)=rs$$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
となりヘロンの公式を得る。

対称性を崩さずに計算できると気持ちいい!

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