2014/07/12

tan1°が無理数であることの証明

分野: 難問・良問  レベル: 最難関大学

$\tan 1^{\circ}$ は有理数か?

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

有理数であることか無理数であることを証明せねばなりません。2つの方針のうち一方しかうまくいかないので,この手の問題でどちらの道を選ぶかは自分の直感に頼らざるを得ません。

実は無理数であることを証明するのがうまくいきます。
直感が優れている人は $\tan 1^{\circ}$ は汚そうな数なので無理数だろうと当たりをつけますが,直感が外れた人は,二倍の時間がかかってしまいます。

$\tan 1^{\circ}$ が無理数であることの証明

方針:無理数性の証明は背理法を使うと分かりやすい場合が多いです。つまり,有理数であることを仮定して矛盾を示します。 $\tan 1^{\circ}$ が有理数であれば加法定理を用いてそこから他の数が有理数であることも導けます。

証明

$\tan 1^{\circ}$ が有理数であると仮定して矛盾を導く。
$\tan$ の倍角公式より $\tan\alpha$ が有理数なら $\tan 2\alpha$ も有理数である。
よって,$\tan 2^{\circ}, \tan 4^{\circ},\cdots ,\tan 64^{\circ}$ も全て有理数であることが分かる。
また,$\tan$ の加法定理:
$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$
より $\tan\alpha, \tan\beta$ が有理数なら $\tan(\alpha-\beta)$ も有理数。
よって $64-4=60$ なので $\tan 60^{\circ}$ も有理数。
しかし $\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ なので矛盾。

厳密には $\sqrt{3}$ が無理数であることも証明するべきでしょう。

$\cos 1^{\circ}$ が無理数であることの証明

ついでに $\sin 1^{\circ}$ と $\cos 1^{\circ}$ が無理数であることも証明してみます。

$\tan 1^{\circ}$ と似たような手法で証明したいのですが,$\sin$ や $\cos$ の加法定理は $\sin$ と $\cos$ が入り乱れていて片方だけを取り扱うのは難しいです。

「 $\cos$ だけ」または「 $\sin$ だけ」の式を探す必要があります。 $\cos$ の倍角公式や三倍角の公式は $\cos$ だけの式なのでうまくいきそうですが,それだけでは行き詰まります。
ここで思い浮かんで欲しいのが倍角公式を発展させたチェビシェフ多項式です。→チェビシェフ多項式

$\cos n\theta$ が $\cos \theta$ の $n$ 次式で表せるという事実に気がつけば $\cos$ の方の証明は簡単です。

$\cos 1^{\circ}$ が無理数であることの証明

$\cos 1^{\circ}$ が有理数であると仮定すると,
$\cos 30^{\circ}$ は $\cos 1^{\circ}$ の整数係数の $30$ 次式で表されるので有理数。
これは $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ が無理数であることに矛盾。

$\sin 1^{\circ}$ が無理数であることの証明

最後は $\sin$ です。 $\sin$ と $\cos$ は本質的に同じものなので片方できたらそれに似た方法でもう片方もできます。

$\sin 1^{\circ}$ が無理数であることの証明

$\sin 1^{\circ}$ が有理数であると仮定すると,$\cos 89^{\circ}$ も有理数。
よって,チェビシェフ多項式の理論から任意の自然数 $n$ に対して $\cos 89n^{\circ}$ も有理数。
あとはうまく $n$ を選んで矛盾を導けば良い。
とりあえず小さな $n$ で実験してみると規則性が見えてくる。
$n=5$ とすると $\cos (89\cdot 5)^{\circ}=\cos 85^{\circ}$
$n=9$ とすると $\cos (89\cdot 9)^{\circ}=\cos 81^{\circ}$
どんどん増やしていくと
$n=45$ で $\cos (89\cdot 45)^{\circ}=\cos 45^{\circ}$
も有理数であることが導けるが,これは $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ が無理数であることに矛盾。

問題文が最も短い入試問題として有名です。

Tag: 京大入試数学の良問と背景知識まとめ

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