2014/05/26

ルートの和とシュワルツの不等式

分野: 不等式  レベル: 最難関大学

ルートの和を上からおさえる公式:
$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\leq\sqrt{(a^2+b^2)(x+y)}$


ルートの和を上から押さえたいときはシュワルツ!応用例として東大の有名な入試問題を紹介します。

ルートの和の扱いと公式の証明

不等式証明の最も基本的な方針は両辺の差を取って非負であることを示すことです。不等式にルートが含まれている場合は両辺を二乗すれば解消される場合もあります。

しかし,ルートの和が登場する場合,二乗しても根号が外れません。 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ の二乗には $\sqrt{xy}$ が含まれるからです。そのため両辺を二乗して根号を外しにかかるのは得策ではありません。

そこで登場するのがシュワルツの不等式です。シュワルツの不等式を用いることで「ルートの和 $\leq$ 和のルート」という不等式を作りだすことができます。

上記の公式の証明

シュワルツの不等式より,
$(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2)$
ここで $c^2=x,d^2=y$ とおいて両辺の平方根を取ると上記の公式となる。

シュワルツの不等式を知らない方はシュワルツの不等式とそのエレガントな証明を参照してください。

この公式を用いる例題を二問紹介します。一問目は東大の入試問題です。

応用例1:東大の入試問題

問題1

任意の正の実数 $x,y$ に対して $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$ が成立するような実数 $k$ の最小値を求めよ。

方針:ルートの和と和のルートが登場した瞬間に上記の公式を連想します。右辺に $2x+y$ を作りだすために $x→2x$ とおきます。あとは $a,b$ を調整します。

解答

公式において $x→2x$ とおくと,
$a\sqrt{2x}+b\sqrt{y}\leq\sqrt{(a^2+b^2)(2x+y)}$
さらに左辺の $x$ の係数と $y$ の係数をそろえるために $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}},b=1$ とおくと,
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq\sqrt{\dfrac{3}{2}(2x+y)}$
よって,$k\geq\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ ならOKである。
また,$x=1,y=4$ とすれば等号が成立する(注)ので $k$ が $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ より小さいときは条件を満たさない。
よって求める $k$ の値は $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ である。

注:実際の答案では上記の公式は証明してから用いてください。その際にシュワルツの等号成立条件を考えることで $4x=y$ のとき等号が成立することが自然に分かります。

応用例2:アジア太平洋数学オリンピックの問題

1996年のアジア太平洋数学オリンピック(APMO)の第5問です。

問題2

$a,b,c$ が三角形の辺の長さのとき以下の不等式を証明せよ:
$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

方針:三角形の辺の長さなのでとりあえずRavi変換を用います。すると上記の公式が使えそうな形が出現します。3つに分解するテクニックを用います。

解答

Ravi変換を用いると,$x,y,z > 0$ に対して以下の不等式を証明すればよいことが分かる:
$\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\leq\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$
上記公式により,
$\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\leq 2\sqrt{x+y}$ であり,これと同様な式をもう2つこしらえて足し合わせると題意の不等式を得る。

また,Karamataの不等式を用いたエレガントな別解もあります。→karamataの不等式

ちなみに

上記の公式は本質的にはルートが上に凸な関数であることを示しています。すなわちイェンゼンの不等式を用いても証明できます。

イェンゼンの不等式を用いた証明

$y=\sqrt{x}$ は上に凸な関数なのでイェンゼンの不等式より,
$\dfrac{a\sqrt{x}}{a+b}+\dfrac{b\sqrt{y}}{a+b}\leq\sqrt{\dfrac{ax+by}{a+b}}$
両辺 $a+b$ 倍して $ax=X,by=Y$ とおくと,
$\sqrt{aX}+\sqrt{bY}\leq\sqrt{(a+b)(X+Y)}$
ここで $a=A^2,b=B^2$ とおくとご所望の式を得る。

・項が3つ以上の場合も同様な不等式が成立します。

当サイトではMathjaxで数式を表示させているのですがルートの表示が少し潰れて見える場合があります。直し方をご存じの方はご一報ください。

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分野: 不等式  レベル: 最難関大学