2016/03/11

2年生の夢(sophomore’s dream)

分野: 積分  レベル: マニアック

Sophomore’s dream:
(1) $\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$
(2) $\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$


美しい積分と級数の関係です。名前も面白いです。

証明の道具

  • $f(x)=e^{\log f(x)}$
  • $e^x$ のマクローリン展開
  • 積分と極限の順序交換(本記事では割愛)
  • $\displaystyle\int_0^1x^n(\log x)^ndx=(-1)^nn!(n+1)^{-(n+1)}$ という積分公式(記事末尾で証明する)

公式の証明

(1)も(2)もほぼ同じようにして証明できます。

(1)の証明

左辺の被積分関数を変形する:
$\dfrac{1}{x^x}=x^{-x}\\
=e^{-x\log x}\\
=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x\log x)^n}{n!}$
よって,左辺は(積分とシグマを交換すると)
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n(\log x)^ndx$
これに上記の積分公式を用いると,
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$
となり,右辺と一致する。

(2)の証明

左辺の被積分関数を変形する:
$x^x=e^{x\log x}\\
=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x\log x)^n}{n!}$
よって,左辺は(積分とシグマを交換すると)
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\int_0^1x^n(\log x)^ndx$
これに上記の積分公式を用いると,
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}$
となり,右辺と一致する。

積分公式の証明

上記証明中で用いた積分公式:
$\displaystyle\int_0^1x^n(\log x)^ndx=(-1)^n(n+1)^{-(n+1)}n!$
を証明します。

ガンマ関数の積分公式(→ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質):
$\displaystyle\int_0^{\infty}t^ne^{-t}dt=n!$ を用います。

証明

$\log x=u$ と置換すると,$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}$ より,
$\displaystyle\int_0^1x^n(\log x)^ndx=\displaystyle\int_{-\infty}^0e^{u(n+1)}u^ndu$

さらに,$-u(n+1)=t$ と置換すると上式は,
$\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n}dt$
となる。これにガンマ関数の積分公式を用いると求める式を得る。

ちなみに1年生の夢(freshman’s dream)という(正しくない)等式もあります。3年生の夢はありません。
分野: 積分  レベル: マニアック