2016/11/17

数列の和を計算するための公式まとめ

分野: まとめ  レベル: 最難関大学

数列の和を計算するための公式を整理しました。

高校数学基礎

等差数列

例:$2+4+6+\cdots +100=2550$
初項が $a$,末項が $l$,項数が $n$ であるような等差数列の和は,$\dfrac{1}{2}n(a+l)$
→等差数列の和の公式の例題と証明など

等比数列

例:$1+2+4+8+16=31$
初項が $a$,公比 $r$,項数 $n$ の等比数列の和は($r\neq 1$ のもとで),
$\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
→等比数列の和の公式の証明といろいろな例

例:$1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\cdots =2$
無限等比級数の公式:
$a+ar+\cdots =\dfrac{a}{1-r}$
→無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

高校数学中級

等差と等比の融合

例:$1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+5\cdot 3^4=547$
公比倍して差を取って計算します。
→等比×等差の和を求める2通りの方法

べき乗の和

例:$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225$
三乗の和までは高校数学でも勉強することが多いですが,それ以降も計算することができます。
→4乗の和,べき乗の和の公式

分数の和

例:$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{10}{11}$
部分分数分解を使います。
→分数で表された数列の和の問題と一般化

高校数学で習わない公式

三角関数の和

例:$\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}+\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$
複素数を使います。かなり美しいです。
→位相が等差数列である三角関数の和の公式

二項係数の和

例:${}_4\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_4=16$
二乗和や三乗の交代和も計算できてしまいます!
→二項係数の和,二乗和,三乗和

無限級数

無限級数の公式については以下の公式集もどうぞ。
→無限和,無限積の美しい公式まとめ

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