2015/08/27

積和公式の導出と覚え方

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

三角関数の積和公式
1. $\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$
2. $\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$
3. $\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

三角関数の「積」を「和」にする「公式」です。

積和公式の証明

積和公式が与えられたときに証明するのは簡単です。加法定理を組み合わせるだけです。

1の証明

サインの加法定理より
(a) $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
(b) $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$
この2つの式を辺々加えて両辺2で割ると,
$\dfrac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}=\sin A\cos B$

(2の証明)
コサインの加法定理より
(c) $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
(d) $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$
(d)-(c)の両辺を2で割ると,
$\dfrac{1}{2}\{-\cos (A+B)+\cos(A-B)\}=\sin A\sin B$

(3の証明)
(c)+(d)の両辺を2で割ると,
$\dfrac{1}{2}\{\cos (A+B)+\cos(A-B)\}=\cos A\cos B$

覚え方(導出の気持ち)

試験では積和公式が与えられていない状況で素早く作ることが求められます。

三角関数の積和公式は丸覚えするのではなく,自力で素早く導出できるようにしておくことを推奨します。公式そのものではなく以下の手順を覚えましょう。

素早く導出する方法

STEP0.三角関数の加法定理(a)~(d)をきちんと覚える。
STEP1.作りたいもの=と書く。その右に,(a)~(d)の中で作りたいものが登場するものの左辺(2つ)を書く。
STEP2.作りたいものがプラスで登場するように符号を決めて $\dfrac{1}{2}$ 倍する。

$\sin A\sin B$ という積を和に変換したい。

STEP1. $\sin A\sin B$ という項が登場するのはコサインの和(c)とコサインの差(d)なので
$\sin A\sin B=\:\:\:\:\:\cos (A+B)\:\:\:\cos (A-B)$
(この式は未完成の式なので正しくない。この式の空白部分に符号と1/2を追加して完成させる)

STEP2.符号を合わせて $\dfrac{1}{2}$ をつける:
$\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

思考回路を説明したために長く見えますが,この方法を使えば(加法定理など)余計なものを一文字も書くことなく,積和公式を素早く書き下すことができます。慣れたら20秒くらいでできると思います。

補足

積和公式に $B=0$ を代入すると,
1. $\sin A=\dfrac{1}{2}\{\sin A+\sin A\}$
2. $0=\dfrac{1}{2}\{-\cos A+\cos A\}$
3. $\cos A=\dfrac{1}{2}\{\cos A+\cos A\}$
となり,一目で分かる正しい式が出てきます。検算に使えます。

三角関数の公式を変なゴロあわせで覚えるのは好かんです。

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