2014/02/16

トレミーの定理とその証明,応用例

分野: 平面図形  レベル: 最難関大学

トレミーの定理:円に内接する四角形 $ABCD$ において, $AB×CD+AD×BC=AC×BD$

トレミーの定理

非常に美しい定理で応用も広いです。
大学入試問題では,検算に用いる場合が多いです。

本記事ではトレミーの定理の2通りの証明と,トレミーの定理の応用例を3つ紹介します。まずは応用例から!

トレミーの定理の応用1〜ピタゴラスの定理の証明~

トレミーの定理の応用1

ピタゴラスの定理の証明方法は100以上あるらしい、、そのうちの一つです。
トレミーの定理を長方形に適用すると,
$a^2+b^2=c^2$
つまり,ピタゴラスの定理そのものです。

追記:読者の方から「トレミーの証明にはピタゴラスが必要だから循環論法だ」という鋭いご指摘を受けましたが,三角形の相似のみを用いて(ピタゴラスの定理を用いずに)トレミーの定理を証明することができるので循環論法にはなっていません。

トレミーの定理の応用2〜正五角形~

トレミーの定理の応用2

正五角形の対角線の長さ
1辺が1の正五角形の対角線の長さを $x$ とおくと,トレミーの定理から,
$1+x=x^2\\
\therefore x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
となり,有名な黄金比が登場します。

トレミーの定理の応用3〜正三角形の場合~

トレミーの定理の応用3

三角形 $ABC$ が正三角形の場合にトレミーの定理を用いると,
$AD+CD=BD$
というわりと有名な美しい関係式が得られます。

ここまでが応用,ここからは証明です!

対角線の長さを求める素直なトレミーの定理の証明

方針:余弦定理を用いて対角線の長さを四角形の4辺の長さで表す方法です。機械的な計算で証明できます。

トレミーの定理の証明

証明

$AB=a, BC=b, \\CD=c, DA=d,\\ AC=e, BD=f,\\ ∠ABC=θ(→∠ADC=π-θ)$
とおく。
余弦定理より,
$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=\cos\theta\\
=-\cos(\pi-\theta)=-\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}$
この等式を $e$ について解き以下を得る:
$e^2=\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$
全く同様にして $f$ も以下のように表せる:
$f^2=\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}$
以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると,
$ef=ac+bd$

正弦定理を用いたトレミーの定理の証明

方針:正弦定理を用いて両辺を角度の情報に変換します。そこから積和公式を用いてゴリゴリ計算します。

トレミーの定理の証明2

証明

図のように $\theta_1~,\cdots,\theta_4$ を定める。正弦定理より,
$ac+bd\\
=(2R\sin\theta_1)(2R\sin\theta_3)\\+(2R\sin\theta_2)(2R\sin\theta_4)$

一方三角関数の積和公式より,
$2\sin\theta_1\sin\theta_3=\cos(\theta_1-\theta_3)-\cos(\theta_1+\theta_3)\\
2\sin\theta_2\sin\theta_4=\cos(\theta_2-\theta_4)-\cos(\theta_2+\theta_4)$
また, $\theta_1+\theta_3+\theta_2+\theta_4=\pi$ より,
$\cos(\theta_1+\theta_3)+\cos(\theta_2+\theta_4)=0$
以上から, $ac+bd=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)+\cos(\theta_2-\theta_4)\}$

同様に正弦定理と積和公式から,,
$\begin{align*}ef&=4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)-\cos(\theta_1+2\theta_2+\theta_3)\}\\
&=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)-\cos(\pi+\theta_2-\theta_4)\}\\
&=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)+\cos(\theta_2-\theta_4)\}\end{align*}$
となり,$ac+bd=ef$ が示された。

他にも初等幾何を用いる方法や複素数を用いる方法もあります。(詳しくはwikipedia参照

プトレマイオスの定理とも言うみたいです。
分野: 平面図形  レベル: 最難関大学