2014/07/03

無限和,無限積の美しい公式まとめ

分野: まとめ

高校の教科書できちんと習うのは無限等比級数だけですが,無限和,無限積に関して高校数学で理解できる美しい公式がたくさんあります。特に無限積の公式はあまり扱いませんが美しい世界が広がっています。

無限和の公式

調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明
調和級数が発散することを3通りの方法で証明します。

log2に収束する交代級数の証明
交代級数の式変形のテクニックに感動します。

グレゴリーライプニッツ級数の2通りの証明
円周率が登場する交代級数です。

バーゼル問題の初等的な証明
かなり難しいですが高校数学で $\zeta(2)$ が求まります。

素数の逆数和が発散することの証明
平方数の逆数和の収束との対比が面白いです。

無限積の公式

ヴィエトの無限積の公式
サインの倍角公式を繰り返し用いて得られる美しい公式です。

ウォリスの公式とその2通りの証明
サインの $n$ 乗の積分公式から得られる公式です。スターリングの公式の証明に用います。

スターリングの公式とその証明
階乗で $n$ が無限大に発散する場合の近似公式です。大学数学でも様々な場面でお世話になる公式です。

素数が無限にあることの美しい証明
2つ目の証明で用いられるオイラーの無限積表示が美しいのでオススメ。

積は対数を取ると和になり,和は指数の肩に乗っけると積になるので無限積を無限和は本質的に同じです。しかし,どちらの表記の方がスッキリしているかは公式によります。

分野: まとめ