2015/03/22

数学的モデリングまとめ

分野: まとめ  レベル: アクチュアリー

アクチュアリー会の教科書「モデリング」を参考に数学的モデリングの内容(アクチュアリー試験の範囲)を大雑把に整理しました。

数学的モデリングについて

アクチュアリー試験を目指す方へ

一次試験の数学取得のためにモデリングが必要です。モデリングの教科書内容を全て理解するのは大変なので,教科書をざっと眺めたらあとは過去問を解きつつ教科書で再確認していくのがオススメです。

単純に「モデリング」に興味がある方へ

「数学的モデリング」「数理モデリング」という言葉はけっこう曖昧で,いくつもの数学の小分野を包含しているような印象があります。以下ではアクチュアリー会の教科書を参考に5テーマを紹介します。実際の問題解決に役立つだけでなく,数学的にもけっこう奥が深く面白いテーマが多いです!

回帰分析

・基本的な用語(単回帰,重回帰など)
・最小二乗法(単回帰)
 →最小二乗法(直線)の簡単な説明
 →全変動,回帰変動,残差変動の意味と関係
・決定係数(単回帰)
 →決定係数の定義と相関係数との関係
・最小二乗法(重回帰)
 →最小二乗法の行列表現(単回帰,多変数,多項式)
・多重共線性
・ダミー変数
・非線形回帰(ロジスティックモデルなど)
・確率分布の前提を置いた回帰モデルの分析

時系列解析

・確率過程の定常性
・自己共分散,自己相関
・ARモデル
・ユールウォーカー方程式
・MAモデル,反転可能性
・ARMAモデル
・ARIMAモデル
・時系列モデルの同定,パラメータ推定
・情報量規準

確率過程

・マルコフ連鎖,遷移確率行列
 →マルコフ連鎖の基本とコルモゴロフ方程式
・ポアソン過程
・ブラウン運動(ウィーナー過程)
◎確率微分方程式,伊藤の公式
◎ブラック–ショールズ方程式

シミュレーション

注:かなり大雑把です。

・逆関数法
 →逆関数法を用いた乱数生成の証明と例
・ボックス=ミューラー法
 →ボックス=ミュラー法(正規乱数の生成)の証明
・棄却法
・合成法
・分散減少法
・一様乱数の生成法(線形合同法,メルセンヌ・ツイスター)

線形計画法

◎最適化問題についての基本用語
◎線形計画法(LP)とは
 →領域における最大・最小問題(線形計画法)
◎LPの標準形
◎単体法(シンプレックス法)

注:◎はアクチュアリー試験範囲外です。

気が向いたらそれぞれの詳細を別記事で解説するかもしれません。ただ,全ての詳細を当サイトで解説することはできません。アクチュアリー会の教科書などを参考に勉強してみてください!

ちなみに僕自信の理解レベルは以下の通りです。
線形計画法 > 回帰分析=確率過程 ≫ 時系列解析 > シミュレーション
分野: まとめ  レベル: アクチュアリー