2014/12/13

一次分数変換(メビウス変換)と円円対応

分野: 複素数  レベル: 最難関大学

一次分数変換:
$a,b,c,d$ を $ad\neq bc$ なる複素数とする。複素数値に対して複素数を返す関数で,
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ という形のものを一次分数変換(またはメビウス変換)という。


一次分数関数は「複比を保つ」「等角写像」などいろいろな性質があります。過去の入試問題でもメビウス変換を背景とする問題が多く見られます。

この記事では円円対応を理解するのが目標です。

一次分数変換についての注意

  • $c=0$ のときは $ad\neq 0$ であり,$f(z)=\dfrac{az+b}{d}$ となります。すなわち一次分数変換は(一次の係数が $0$ でない)一次関数を含んでいます。
  • なお,$ad=bc$ をのときは $\dfrac{az+b}{cz+d}$ は定数になってしまいつまらないのでメビウス変換とは言いません。
  • 整数論の文脈で登場するメビウス関数とは何の関係もありません。

一次分数変換の円円対応

一次分数変換は複素数平面上の円を円に移します。これを円円対応と言います。驚きですね!

$c=0$ のときは分かりやすいので先に証明しておきます。平行移動,回転,拡大がいずれも円を円に移すことから分かります。

$c=0$ のときの円円対応の証明

$c=0$ のとき,メビウス変換は一次関数になるので,一次関数 $f(z)=Az+B\:(A\neq 0)$ について円円対応を示せばよい。

メビウス変換の円円対応

$f(z)=A(z+\dfrac{B}{A})$
これは以下の二つの変換の合成である。
1:複素数 $z$ を $\dfrac{B}{A}$ だけ平行移動する操作。
2:その複素数をさらに $A$ 倍する操作

$A$ 倍する操作(複素数をかける操作)は複素数平面において回転&拡大に対応している。→複素数平面における回転と極形式
よって,1の操作も2の操作も円を円に移すので,結局 $f(z)$ は円を円に移す。

基本的な変換の合成とみなす

一般の場合の円円対応を理解するために一次分数変換を基本的な変換の合成として表します。

数3で習いますが,実数の場合の一次分数関数のグラフは反比例のグラフを平行移動したものでした。→一次分数関数のグラフと漸近線

メビウス変換も割り算を実行することで以下のような形で表すことができます:
$f(z)=\dfrac{A}{Bz+C}+D$

よって,一次分数変換は以下の3つの基本的な変換を(適切な順番で何回か)合成したものになります!

  • 回転・拡大(複素数平面のかけ算)
  • 平行移動(複素数平面の足し算)

・反転・折り返し(逆数を取る操作)

回転・拡大,平行移動は円を円にうつすので,あとは $f(z)=\dfrac{1}{z}$ という変換が円を円に移すことを確認すればOKです。

反転の円円対応

$f(z)=\dfrac{1}{z}$ がどのような変換なのか考えてみます。極形式で考えると,絶対値を逆数にして偏角を$-1$ 倍するという変換です。「絶対値を逆数にする」というのは原点に関する反転です。→反転幾何の基礎

すなわち, $\dfrac{1}{z}$ は原点に関する反転と $x$ 軸に関する折り返しを合成したものとみなせます。

  • 「反転は円を円に移す」ということは有名です。方べきの定理を使って簡単に証明できます。
  • 「 $x$ 軸に関する折り返し」は明らかに円を円に移します。

以上により一次分数変換の円円対応が分かりました!

なお,$\dfrac{1}{z}$ が円を円に移すことは,複素数平面の円の方程式が $|z-a|=r$ であることを利用しても示せます。

新課程になり,複素数平面の入試問題でどのような問題が出るか楽しみです。
分野: 複素数  レベル: 最難関大学