2015/12/20

行列のn乗の求め方と例題

分野: 線形代数  レベル: 大学数学

対角化(またはジョルダン標準形)を用いて正方行列の $n$ 乗を計算することができる。


$k\times k$ の正方行列 $A$ が与えられたときに $A^n$ を計算する問題を考えます。漸化式などに応用がある重要な話題です。→漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由

対角行列の $n$ 乗

まずは対角行列 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ の $n$ 乗について考えます。
(対角成分が $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ である対角行列を $\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ と表記します)

対角行列の $n$ 乗は対角成分をそれぞれ $n$ 乗すればよいだけ。つまり,
$D^n=\mathrm{diag}(\lambda_1^n,\cdots,\lambda_k^n)$

これは数学的帰納法により簡単に分かります。

対角化可能な行列の $n$ 乗

対角化可能な行列の $n$ 乗は,対角化および対角行列の $n$ 乗を用いて計算することができます。ほとんどの場合これで事足ります。

具体的な手順を以下に示します:

  • $A$ を対角化する,つまり $D=P^{-1}AP$ となる正則行列 $P$,対角行列 $D$ を求める。
  • $A^n=(PDP^{-1})^n\\
    =PDP^{-1}PDP^{-1}\cdots PDP^{-1}\\
    =PDD\cdots DP^{-1}\\
    =PD^{n}P^{-1}$
    であることと,$D^n$ から $A^n$ を計算する。

例題

$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$ の $n$ 乗を計算せよ。

解答

まず $A$ を対角化する。

$P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$,$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$ とおくと,$P^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}$ であり,
$P^{-1}AP=D$ となる。
(対角化の具体的な手順は行列の対角化の意味と具体的な計算方法をどうぞ)

よって,
$A^n=PD^nP^{-1}\\
=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n&0\\0&4^n\end{pmatrix}\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}\\
=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1+2\cdot 4^n&-1+4^n\\-2+2\cdot 4^n& 2+4^n\end{pmatrix}$

ジョルダン標準形と行列の $n$ 乗

対角化できない行列の $n$ 乗を計算するためにはジョルダン標準形の知識が必要になります。→ジョルダン標準形の意味と求め方

具体的な手順を以下に示します:

  • $J=P^{-1}AP$ となる正則行列 $P$,ジョルダン標準形 $J$ を求める。
  • $J^n$ を求める。
  • $A^n=PJ^{n}P^{-1}$ であることと,$J^n$ から $A^n$ を計算する。

一つ目と三つ目は対角化のときと同じノリです。以下,$J^n$ を求める部分について説明します。

$J$ はブロック対角行列なので,各ジョルダンブロックの $n$ 乗を計算すれば $J^n$ が計算できます($J$ の各ジョルダンブロックをその $n$ 乗で置き換えれば $J^n$ になる)。そして,1つのジョルダンブロック $\begin{pmatrix}\lambda&1& & \\ &\lambda & \ddots &\\& &\ddots &1 \\&&&\lambda\end{pmatrix}$ の $n$ 乗は,

  • 対角成分は $\lambda^n$
  • その右の成分は${}_n\mathrm{C}_1\lambda^{n-1}$
  • さらにその右の成分は${}_n\mathrm{C}_2\lambda^{n-2}$
  • さらにその右の成分は${}_n\mathrm{C}_3\lambda^{n-3}$
  • 以下同様,${}_n\mathrm{C}_n=1$ が登場するか右上にぶつかったら終了

であるような上三角行列になります。これは帰納法から分かります(二項定理を使っても導出できる)ので証明してみてください!

行列が高校数学の教科書範囲内だったころは行列の $n$ 乗に関する問題は頻出でした。
分野: 線形代数  レベル: 大学数学