2015/07/27

ベクトルの一次独立,一次従属の定義と意味

分野: 線形代数  レベル: 基本公式

一次独立の定義:
以下の条件を満たすとき,ベクトル $\overrightarrow{v}_1,\cdots,\overrightarrow{v}_k$ は一次独立であるという。
条件:$\displaystyle\sum_{i=1}^kc_i\overrightarrow{v}_i=\overrightarrow{0}$ を満たす実数 $c_1,\cdots, c_k$ の組は $c_1=\cdots =c_k=0$ のみ。

高校数学で扱う平面ベクトルで $k=2$ の場合の具体例を中心に解説します。

用語について

  • 「一次独立」を「線形独立」と言うこともあります。
  • 一次独立でない場合,一次従属または線形従属と言います。

平面ベクトルでk=2の場合

最も基本的な例として,平面ベクトルの場合で一次独立の定義を書き下してみます。

以下の条件を満たすとき,二本の平面ベクトル $\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2$ は一次独立という。
条件:$c_1\overrightarrow{v}_1+c_2\overrightarrow{v}_2=\overrightarrow{0}$ を満たす実数 $c_1,c_2$ の組が $c_1=c_2=0$ のみ。

例題1

二本の平面ベクトル$(0,1)$ と$(1,1)$ は一次独立か?

解答

$c_1(0,1)+c_2(1,1)=0$
→ $c_2=0$ かつ $c_1+c_2=0$
→ $c_1=c_2=0$
が成立するので一次独立。

例題2

二本の平面ベクトル$(1,2)$ と$(-2,-4)$ は一次独立か?

解答

例えば $c_1=2,c_2=1$ とすれば $c_1(1,2)+c_2(-2,4)=(0,0)$ となるので一次従属。

図形的な意味

平面ベクトルの一次独立性はいくつかの見方があります。

平面ベクトル $\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2$ が一次独立
$\iff \overrightarrow{v}_1$ と $\overrightarrow{v}_2$ が違う方向を向いている
$\iff \overrightarrow{v}_1$ と $\overrightarrow{v}_2$ で張られる三角形がつぶれていない

(大雑把な証明)
$\overrightarrow{v}_1=(a,b),\overrightarrow{v}_2=(c,d)$ とおくと,
上述の三つの状況はいずれも $ad-bc\neq 0$ と等価であることが分かります(練習問題にどうぞ)。

例題1(再掲):二本の平面ベクトル$(0,1)$ と$(1,1)$ は一次独立か?

解答2:$(0,1)$ と$(1,1)$ は違う方向を向いているので一次独立。
解答3:$(0,1)$ と$(1,1)$ で張られる三角形はつぶれていない(面積は $\dfrac{1}{2}$)なので一次独立。

一次独立性の使い方(余談)

高校数学の図形問題では一次独立の考え方は以下のような流れで活躍します。

  • 何らかの方法で $c_1\overrightarrow{v}_1+c_2\overrightarrow{v}_2=0$ という式を導く。
  • $\overrightarrow{v}_1$ と $\overrightarrow{v}_2$ は違う方向を向いていることは図を見て分かる→先ほどの定理より $\overrightarrow{v}_1$ と $\overrightarrow{v}_2$ は一次独立。

以上の二点から $c_1=c_2=0$ が分かる!

空間ベクトルで $k=3$ の場合

空間ベクトルの場合も同様です。

三本の空間ベクトル $\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{v}_3$ が一次独立
$\iff c_1\overrightarrow{v}_1+c_2\overrightarrow{v}_2+c_3\overrightarrow{v}_3=0$ を満たす実数 $c_1,c_2,c_3$ の組は $c_1=c_2=c_3=0$ のみ(定義)
$\iff$ $\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{v}_3$ で張られる四面体がつぶれていない(性質)

二つ目の $\iff$ は厳密には証明すべきことです。行列式を使って証明できます。

一般論

  • ベクトルの次元とベクトルの本数は一致している必要はありません。例えば二本の空間ベクトルの一次独立性,一次従属性を考えることもあります。
  • ただし,ベクトルの本数が次元より多いと必ず一次従属です(例えば三本の平面ベクトルは必ず一次従属)。
  • 一般にベクトル $\overrightarrow{v}_1,\cdots,\overrightarrow{v}_k$ が一次独立かどうかを判定するためには,そのベクトルを並べた行列のランクが $k$ かどうかを判定すればOKです。→行列のランクの意味(8通りの同値な定義)
最近自分の周囲で風邪が流行っています,みなさんもお気をつけください。
分野: 線形代数  レベル: 基本公式