2014/05/07

重要な一次変換を表す5つの行列

分野: 座標,ベクトル  レベル: 最難関大学

応用上重要な一次変換を5つ紹介します。

特に,回転行列と直線の折り返しは,座標平面を用いてゴリゴリ計算するときに機械的に計算できるので覚えておくと便利です。数学オリンピックなどの難しい図形問題を座標で解くときに計算量を減らす手助けとなります。

ということで,新課程では行列が外されてしまい残念ですが,一次変換は理解しておきましょう!

折り返し,原点に関する対称移動

一次変換(鏡像)

1:$x$ 軸に関する折り返し
$A_X=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$

点$(x,y)$ を点$(x,-y)$ に対応させる変換です。

2:$y$ 軸に関する折り返し
$A_Y=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$

点$(x,y)$ を点$(-x,y)$ に対応させる変換です。

$A_X$ と $A_Y$ を混同しないようにしましょう。

3:原点に関する対称移動
$A_O=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$

点$(x,y)$ を点$(-x,-y)$ に対応させる変換です。

簡単な計算により,$A_XA_Y=A_YA_X=A_O$ が分かります。
これは「 $x$ 軸に関して折り返してから $y$ 軸に関して折り返すのは原点に関して対称移動するのと同じ」ということと対応しています。

また,$A_X^2=A_Y^2=A_O^2=I$ も分かります。
これは「 $x$ 軸に関する対称移動を2回ほどこすと何もしないのと同じ(恒等変換)」ということと対応しています。

このように,行列積と変換の合成が対応しているので,行列積を計算すると変換の間の意味付けができます。逆に,行列積の計算により,合成変換に対応する行列を求めることができます。(5:直線に関する折り返しも参照)
「行列積と変換の合成が対応していること」は線形代数や群論をはじめ大学の数学で大活躍します。

回転行列

座標平面での計算の際に最も活躍する公式です。

4:原点を中心とした回転行列
$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}$

点$(r\cos\alpha,r\sin\alpha)$ を点$(r\cos(\alpha+\theta),r\sin(\alpha+\theta))$ に対応させる変換,つまり原点を中心に反時計回りに $\theta$ 回転させる行列です。
回転が一次変換で表せるというのは自明ではない驚くべき事実です。これは,三角関数の加法定理に基づいています。

回転行列の例

原点以外を回転の中心としたい場合はベクトルを回転すると捉えればよいです。

(例)座標平面上の正三角形 $A,B,C$ において $\overrightarrow{AC}=R_{\tfrac{\pi}{3}}\overrightarrow{AB}$

原点を通る直線に関する折り返し

折り返し

$x$ 軸となす角が $\theta$ である $y=(\tan\theta)x$ に関する折り返しについて考えます。この変換に対応する行列 $L_{\theta}$ を求める際に,先ほど述べた「行列積は合成変換に対応する」という事実が活躍します。

「直線 $l$ に関する折り返し=原点中心に$-\theta$ 回転→ $x$ 軸に関して対称移動→原点中心に $\theta$ 回転」とみなすことができるので, $L_{\theta}=R_{\theta}A_XR_{-\theta}$ となります。
(変換は右から施されるので積の順番に注意)
よって,$L_{\theta}=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}$
を倍角の公式を用いて計算すると以下のようになります。

5:直線に関する折り返し
$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos 2\theta & \sin 2\theta \\
\sin 2\theta & -\cos 2\theta
\end{pmatrix}$

大学数学を学んで,行列=一次変換=線形写像の大切さを思い知りました
分野: 座標,ベクトル  レベル: 最難関大学