2015/10/31

行列のカーネル(核)の性質と求め方

分野: 線形代数  レベル: 大学数学

行列 $A$ に対して,$Ax=\overrightarrow{0}$ を満たすベクトル $x$ の集合を $A$ のカーネル(または核)と言い,$\mathrm{Ker}\:A$ と書くことが多い。

線形代数における重要な概念「カーネル」について解説します。

カーネルとは

この記事では,$A$ は $m\times n$ 行列,$x$ は $n$ 次元の縦ベクトルとします。また,$\overrightarrow{0}$ は全ての要素が $0$ である $n$ 次元縦ベクトルです。

行列のカーネル
線形代数におけるカーネルとは,$A$ をかけると $\overrightarrow{0}$ になるベクトルの集合です。図のように理解すると,確かに「核」っぽいです。

カーネルの性質

カーネルは線形空間をなす

つまり,$x_1,x_2\in \mathrm{Ker}\:A$ なら,その線形結合 $c_1x_1+c_2x_2$ もカーネルの要素であるというわけです。これは,$Ax_1=0,Ax_2=0$ なら $A(c_1x_1+c_2x_2)=0$ であることから分かります。

$\mathrm{rank}\:A+\dim (\mathrm{Ker}\:A)=n$(次元定理)

次元定理の意味,具体例,証明で詳しく解説しています。カーネルの大きさとイメージの大きさ($\mathrm{rank}$)の間に成り立つ関係です。

($A$ が正方行列のとき)$A$ が正則 $\iff$ $\mathrm{Ker}\:A$ の要素は $\overrightarrow{0}$ のみ

$\Longrightarrow$ は簡単です。 $A$ が正則なら逆行列 $A^{-1}$ が存在するので,$Ax=\overrightarrow{0}$ なら(両辺に左から $A^{-1}$ をかけて)$x=\overrightarrow{0}$ となります。
$\Longleftarrow$ は次元定理を認めればすぐです。カーネルの次元が $0$ のとき,$\mathrm{rank}\:A=n$ であり,$A$ が正則であることが分かります。

カーネルの求め方

具体例で説明します。カーネルを求めるためには,連立方程式 $Ax=\overrightarrow{0}$ を解けばよいわけです。これは頑張れば高校生にもできますが,ここでは行列の基本変形を用いて説明します。(前提知識:行列の基本変形とrank,行列式の求め方

例題

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\1&-1&-1&1\\1&3&3&3\\3&1&1&5\end{pmatrix}$ のカーネルを計算せよ。また,基底を一組求めよ。

解答

$A$ を行基本変形していくと,
$A\to\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&-2&-2&-1\\0&2&2&1\\0&-2&-2&-1\end{pmatrix}$
$\to\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&-2&-2&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
となる。つまり,$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ が $A$ のカーネルの要素となる必要十分条件は,$x_1+x_2+x_3+2x_4=0$ かつ $-2x_2-2x_3-x_4=0$

ここで,$x_3$ と $x_4$ を一つ決めればこの条件を満たす $x$ がただ一つ決まる。つまり,カーネルの要素は
$x=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}t\\-s-\frac{t}{2}\\s\\t\end{pmatrix}$
(ただし $s,t$ は任意の実数)とかける。さらに $s$ と $t$ の部分を分けると,
$x=s\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}$
となる。つまり,$A$ のカーネルの次元は $2$ であり,基底(の一例)は
$\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}$

ちなみにWolframlAlphaでカーネルの計算もできます。(今回の例だと ker{{1,1,1,2},{1,-1,-1,1},{1,3,3,3},{3,1,1,5}}と入力。
分野: 線形代数  レベル: 大学数学