2016/01/07

カプレカ数(特に3桁の場合)について

分野: 整数問題  レベル: マニアック

3桁のカプレカ数は $495$ のみである。
4桁のカプレカ数は $6174$ のみである。

カプレカ数の意味,および関連する性質について解説します。

カプレカ操作,カプレカ数とは

正の整数 $n$ に対して,
「 $n$ の各桁を大きい順に並べた数」ー「 $n$ の各桁を小さい順に並べた数」
で得られる整数を $K(n)$ とします。

$n=175$  →  $K(n)=751-157=594$
$n=3030$  →  $K(n)=3300-33=3267$

そして,カプレカ操作で不変な数,つまり $K(n)=n$ を満たす正の整数 $n$ をカプレカ数と言います。
注:「カプレカ数」という言葉を別の意味で使うこともあるので注意してください。

3桁のカプレカ数が495のみであることの証明

4桁はわりと煩雑なので3桁についてのみ証明します。

証明

3桁のカプレカ数 $n$ の各桁の数字を大きい順に並べたものを $abc$ とする。
$0\leq c\leq b\leq a\leq 9$ である。

このとき,
$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$
より $n$ は $99$ の倍数である。あとは $99$ の倍数を1つずつ調べればよい。

$198$  →  $981-189=792$  ダメ
$297$  →  $972-279=693$  ダメ
$396$  →  $963-369=594$  ダメ
$495$  →  $954-459=495$  OK
$594$  →  $954-459=495$  ダメ
$693$  →  $963-369=594$  ダメ
$792$  →  $972-279=693$  ダメ
$891$  →  $981-189=792$  ダメ
$990$  →  $990-99=891$  ダメ

カプレカ操作を繰り返す

3桁の整数に対してカプレカ操作を繰り返すと,必ず $0$ か $495$ になって,そのままその数字を繰り返す。
4桁の整数に対してカプレカ操作を繰り返すと,必ず $0$ か $6174$ になって,そのままその数字を繰り返す。

$365$  →  $653-356=297$
$297$  →  $972-279=693$
$693$  →  $963-369=594$
$594$  →  $954-459=495$
これ以降 $495$ を繰り返す。

なお,$n$ の全ての桁の数字が同じ場合,$K(n)=0$ であり,それ以降 $0$ を繰り返します(つまらない場合)。

先ほどと同じく,4桁はわりと煩雑なので3桁についてのみ証明します。

証明

$n$ が3桁の正の整数のとき,

  • $K(n)$ は $99$ の倍数である。
  • $99$ の倍数は何回かカプレカ操作を繰り返すと $495$(または $0$)になる。

より分かる(上の2つは先ほどの証明から分かる)。

なお,5桁の場合上のような性質は成立しません($5$ 桁のカプレカ数は存在しない)。例えば,
$53955$  →  $95553-35559=59994$
$59994$  →  $99954-45999=53955$
となり,$53955$ と $59994$ を交互に繰り返します。

最近読者の方がいろいろと面白いネタを教えて下さるので助かっています!
分野: 整数問題  レベル: マニアック