2014/09/08

積分公式一覧

分野: 積分  レベル: 基本公式

覚えておくべき積分公式をただひたすら一覧形式で列挙しました。いずれも積分後の式を微分することで確かめることが出来ます。

「この公式が足りない」などあればご一報下さい。
微分については微分公式一覧(基礎から発展まで)をどうぞ。

基本的な関数の積分公式

$\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C$

$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$

$\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$

$\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|+C$
 →タンジェントとそのn乗の不定積分

$\displaystyle\int\log xdx=x\log x-x+C$
 →log xの積分計算の2通りの方法と発展形

$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$

$\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx =-\dfrac{1}{\tan x}+C$

一次式の積っぽい積分公式

$\displaystyle\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \hspace{10mm} (t\neq -1)$
 →積分速度を上げる公式

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$
 →放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

$\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$
 →ベータ関数の積分公式

発展的な三角関数の積分公式

ここから先は公式を丸覚えするというよりも導出方法をしっかり理解することが大事です。

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log (\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x})+C$

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log (\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x})+C$

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\tan x}dx=\log|\sin x|+C$
 →サイン分の1,コサイン分の1の積分の2通りの方法

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$
 →三角関数と指数関数の積の積分

$n$ が奇数のとき,
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx
=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$
$n$ が偶数のとき,
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$
 →sinのn乗,cosのn乗の積分公式

$m$ と $n$ が異なる自然数のとき,
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx=0\\
\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx=0\\
\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=0\\
\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx=0$
 →三角関数の積の積分と直交性

$x^2\pm a^2$ にまつわる積分公式

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))+C$
 →ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\mathrm{Arcsin} \dfrac{x}{a}+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\mathrm{Arctan} \dfrac{x}{a}+C$
 →逆三角関数の重要な性質まとめ

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$

大学レベルの積分公式

$a > 0$ のとき,
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$
 →ガウス積分の公式の2通りの証明

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$
 →フレネル積分

これらの公式に当てはめられない場合は加えて置換積分or部分積分を使う必要があります。
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