数学オリンピック突破のための不等式証明のコツ

条件式が使いやすくなるように示すべき不等式の両辺を $xyz$ で割る：

$\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)\geq \dfrac{8}{xyz}$

つまり，

$\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\geq \dfrac{8}{xyz}$ を示せばよい。

上の不等式は，相加相乗平均の不等式から導かれる以下の3つの不等式を掛けあわせれば示される：

$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq 2\dfrac{1}{\sqrt{yz}}$

$\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\geq 2\dfrac{1}{\sqrt{zx}}$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq 2\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$

相加相乗平均の不等式より導かれる以下の3つの不等式を足しあわせて両辺2で割ると求める不等式を得る：

$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\geq 2y, \dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\geq 2z, \dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\geq 2x$

不等式： $\dfrac{2x^3}{x^2+y^2}\geq 2x-y$ は分母を払い整理すると $y(x-y)^2\geq 0$ と同値であり，簡単に証明できる。

同様にして，

$\dfrac{2y^3}{y^2+z^2}\geq 2y-z$

$\dfrac{2z^3}{z^2+x^2}\geq 2z-x$

も成立し，以上3つの不等式を足しあわせて求める不等式を得る。