2015/08/12

一次近似の意味とよく使う近似公式一覧

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学

一次近似:
$x\simeq a$ のとき,$f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)$

一次近似の意味,よく使う近似式,例題を解説します。

$\simeq$ は「だいたい等しい」ことを表します(厳密な等式ではありません)。

一次近似について

一次近似の考え方

〜発想〜
関数 $f(x)$ は複雑で扱いにくいので,その一部を一次関数という単純な関数で近似しようという発想です。近似したい部分で関数の接線を引き,それを近似関数とします。

〜具体的な式〜
$x=a$ における接線の方程式は微分係数を使って $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ と書けます。これを $x\simeq a$ における $f(x)$ の近似式とみなします。つまり,$f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)$ と考えます。

一次近似の例

$f(x)=\sqrt{1+x}$ を $x=0$ 付近で近似する。 $f'(0)=\dfrac{1}{2}$ なので,$\sqrt{1+x}\simeq 1+\dfrac{1}{2}x$ という近似式を得る。

〜不等式がついてくる〜
もとの関数と接線の共有点は多くの場合,その接点のみです。つまり「接線ーもとの関数」が常に非負(または常に非正)というタイプの不等式を得ることができます。

さっきの例の続き:$\sqrt{1+x}$ とその近似式 $1+\dfrac{1}{2}x$ の間には,$\sqrt{1+x}\leq 1+\dfrac{1}{2}x$ という不等式が成立する。これは上の図より分かる(厳密には微分すれば示せる)。

〜マクローリン展開〜
一次関数(接線)で近似するのが一次近似です。より一般に,$f(x)$ を $n$ 次関数で近似するのが $n$ 次近似です。当然ですが $n$ が大きいほど精密な近似になります。(乱暴な言い方ですが)$n\to\infty$ とするとテイラー展開(マクローリン展開)になります。→マクローリン展開

よく使う一次近似の公式(不等式)一覧

高校物理で登場する近似式の多くが一次近似の形です。一方,入試数学では「近似」は直接は問題にしにくいので不等式の形で活躍することが多いです。

近似式,関連する不等式,不等式が成立する範囲のセットで紹介します。

$x\simeq 0$ のとき,
・ $\sqrt{1+x}\simeq 1+\dfrac{x}{2}$,$\sqrt{1+x}\leq 1+\dfrac{x}{2}$,$x > -1$
 →ベルヌーイの不等式
・ $\sin x\simeq x$,$\sin x\leq x$,$x\geq 0$
・ $\cos x\simeq 1$,$\cos x\leq 1$,任意の実数 
 →マクローリン型不等式(三角関数)
・ $\tan x\simeq x$,$\tan x\geq x$,$x\geq 0$
・ $e^x\simeq 1+x$,$e^x \geq 1+x$,任意の実数
 →マクローリン型不等式(指数関数)
・ $\log (1+x)\simeq x$,$\log (1+x)\leq x$,$x > -1$

$x\simeq e$ のとき,
・ $\log x\simeq \dfrac{x}{e}$,$\log x \leq \dfrac{x}{e}$,$x > 0$

例題(東大入試の問題)

一次近似の考え方を知らないと厳しい入試問題です。1999年東大理系第6問です。

問題

$\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2xdx > 8$ を示せ。ただし,$\pi=3.14\cdots$,$e=2.71\cdots$ である。

解答

半角の公式より,左辺は
$\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi}e^x(1-\cos 2x)dx\\
=\dfrac{1}{2}[e^x]_0^{\pi}-\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi}e^x\cos 2xdx\\
=\dfrac{1}{2}(e^{\pi}-1)-\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi}e^x\cos 2xdx$
ここで,第二項は部分積分を用いることで(→三角関数と指数関数の積の積分
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}[e^x\cos 2x+2e^x\sin 2x]_0^{\pi}=\dfrac{1}{10}(e^{\pi}-1)$
となる。つまり問題の左辺の定積分は,$\dfrac{2}{5}(e^{\pi}-1)$

よって,目標の不等式は $2(e^{\pi}-1) > 40$,$e^{\pi} > 21$ と同値。

ここで,$f(x)=e^x$ を $x=3$ で一次近似すると,
$e^{\pi} > e^3+e^3(\pi-3)$ となる($f(x)=e^x$ の $x=3$ における接線が $f(x)$ より下側にあることはグラフを書けば分かる)。
$e^3+e^3(\pi-3)=e^3(\pi-2) > 2.7^3\cdot 1.1 > 21.6$ より題意は示された。

注:$e^{\pi}=23.14\cdots$ です。 $2.7^3=19.683$ では不十分なのでそれなりに厳しい評価が必要になります。

他にもよく使う一次近似の公式があればご一報ください!

Tag: 東大入試数学の良問と背景知識まとめ

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学