2014/07/11

はさみうちの原理の証明

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学

はさみうちの原理(数列版):
任意の自然数 $n$ に対して(または十分大きな $n$ に対して)
$a_n \leq b_n \leq c_n$ が成立し,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ なら
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$


はさみうちの原理は一見当たり前っぽい公式ですが,高校数学の範囲ではごまかされているのできちんと証明します。(証明には $\epsilon-N$ 論法,$\epsilon-\delta$ 論法という大学数学の道具を用いるので大学入試で問われることはありません)

証明の準備(極限の定義)

まず,高校数学の範囲では極限が厳密に定義されていません。厳密な部分はごまかしていたのです。
そこで,まずは極限の定義をきちんと行います。

極限の定義:
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ とは,
「任意の正の実数 $\epsilon$ に対して,ある $N$ が存在して $n\geq N$ なら $|a_n-\alpha| <\epsilon$ が成立する」

厳密に書くと分かりにくいですが,意味は難しくありません。

「 $n$ を大きくすると $a_n$ はいくらでも $\alpha$ に近づく」
→「 $n$ が十分大きいなら $|a_n-\alpha|$ はいくらでも $0$ に近づく」
→「どんなに小さい正の数 $\epsilon$ に対しても $n$ が十分大きいなら $|a_n-\alpha| <\epsilon$ となる」
→「任意の正の実数 $\epsilon$ に対して,ある $N$ が存在して $n\geq N$ なら $|a_n-\alpha| <\epsilon$ が成立する」

これで極限の意味が厳密に定義されたのではさみうちの原理が証明できます。

はさみうちの原理の証明

まずは仮定と目標の式をきちんと表現しておきます。

仮定
・ $a_n \leq b_n \leq c_n$
・任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N_1$ が存在して $n\geq N_1$ なら $|a_n-\alpha| <\epsilon$
・任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N_2$ が存在して $n\geq N_2$ なら $|c_n-\alpha| <\epsilon$
目標
・任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N$ が存在して $n\geq N$ なら $|b_n-\alpha| <\epsilon$

証明

仮定の2つ目と3つ目より,
任意の $\epsilon > 0$ に対して $N > N_1, N > N_2$ となるように $N$ を取れば
$n\geq N$ なら
$a_n > \alpha-\epsilon$ かつ $c_n <\alpha+\epsilon$

仮定の1つめと合わせると
$\alpha-\epsilon <b_n <\alpha+\epsilon$
つまり,$|b_n-\alpha| <\epsilon$

よって,はさみうちの原理が示された。

関数版のはさみうちの原理

関数版の場合も数列版とほとんど同様にして証明できます。まずは定義から。

極限の定義:
$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=\alpha$ とは,
「任意の正の実数 $\epsilon$ に対して,ある $\delta > 0$ が存在して $|x-A| <\delta$ なら $|f(x)-\alpha| <\epsilon$ が成立する」

関数版のはさみうちの原理:
$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ かつ
$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=\lim_{x\to A}h(x)=\alpha$ なら
$\displaystyle\lim_{x\to A}g(x)=\alpha$
を示す。

証明

仮定より,
任意の $\epsilon > 0$ に対してある $\delta_1 > 0$ が存在して,$|x-A| <\delta_1$ なら $|f(x)-\alpha| <\epsilon$ かつ
ある $\delta_2 > 0$ が存在して $|x-A| <\delta_2$ なら $|h(x)-\alpha| <\epsilon$

よって,
$\delta <\delta_1, \delta <\delta_2$ となるように $\delta > 0$ を取れば
$|x-A| <\delta$ なら
$f(x) > \alpha-\epsilon$ かつ $h(x) <\alpha+\epsilon$

よって,$\alpha-\epsilon <g(x) <\alpha+\epsilon$
つまり,$|g(x)-\alpha| <\epsilon$

$\epsilon-\delta$ 論法が大学数学最初の関門です。高校生のうちに雰囲気だけでも理解しておくとよいでしょう。→イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

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