2016/11/23

ガンマ分布の意味と期待値、分散


確率密度関数が
$f(x)=x^{n-1}\dfrac{e^{-\frac{x}{\mu}}}{\Gamma(n)\mu^n}\:(x\geq 0)$
で表される確率分布をガンマ分布と言う。$\mu$ と $n$ は正のパラメータ。


ただし,$\Gamma(n)$ はガンマ関数です。$n$ が正の整数のときは $\Gamma(n)=(n-1)!$ です。→ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質

ガンマ分布の意味

ガンマ分布は,期間 $\mu$ ごとに1回くらい起こるランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布を表します(理由は後述)。

例えば「10年に一度の割合でランダムに起こるイベントが3回起こるまでに何年かかるか」という問題には「期待値は30年。確率分布としてはパラメータが $\mu=10$、$n=3$ のガンマ分布が対応」と答えることができます。

ガンマ分布と指数分布の関係

ガンマ分布が,ランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布であることは以下の2つから分かります。

  1. 指数分布は期間 $\mu$ ごとに1回くらい起こるランダムな事象が $1$ 回起こるまでの時間の分布を表す。
  2. $X_1,X_2,\cdots,X_n$ が互いに独立に平均 $\mu$ の指数分布に従うとき,
    $Y=X_1+X_2+\cdots +X_n$ はパラメータが $\mu$ と $n$ のガンマ分布に従う。

定理1の導出は指数分布の意味と具体例を参照してください。

定理2の導出は「帰納法+確率密度関数の畳込みの計算」でできます。モーメント母関数を使ってもできます(詳細は省略します)。

ガンマ分布の期待値、分散

ガンマ分布の期待値は $n\mu$,分散は $n\mu^2$ です。
導出方法は3通りあります。

  1. 定義に従って確率密度関数から計算
  2. モーメント母関数から計算
  3. 指数分布との関係で述べた定理2を使って計算($n$ が整数の場合のみ使える)

ここでは3つめの方法で計算してみます。

期待値の導出

上記の定理2より,ガンマ分布の期待値は,
$E[Y]=E[X_1+X_2+\cdots +X_n]\\
=E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_n]\\
=n\mu$
(途中で和の期待値は期待値の和を使った)

分散の導出

同様に,ガンマ分布の分散は,
$V[Y]=V[X_1+X_2+\cdots +X_n]\\
=V[X_1]+V[X_2]+\cdots +V[X_n]\\
=n\mu^2$
(ただし,$X_1,X_2,\cdots,X_n$ が独立なので和の分散が分散の和になることを用いた)

補足

確率分布がマイブームです。

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