最終更新:2016/10/09

放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

分野: 積分  レベル: 基本公式

6分の1公式

$\dfrac{1}{6}$ 公式:
放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とおくとき,
放物線と直線で囲まれた部分の面積は,
$\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$


$b, c, p, q$ に依存することなく $a$ と交点の $x$ 座標だけで決まるのがポイントです。

$\dfrac{1}{6}$ 公式を使いこなすことで時間短縮できる問題は非常に多いです。
この公式は使いこなせるだけではなくその証明方法(平行移動)も応用が広いので覚えるとよいでしょう。

平行移動を用いた $\frac{1}{6}$ 公式の証明

ゴリ押しで普通に積分を計算することもできますが,計算量を少なくするためのテクニック「平行移動」を用います。

証明

放物線と直線で囲まれた部分の面積は,
$\left|\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx\right|$ $\,=-|a|\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$ と表される。
ここで,平行移動の手法を用いて $x$ ではなく $x-\alpha$ が基準になるように変形して積分を行う:
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)\{(x-\alpha)+\alpha-\beta)\}dx\\
=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}dx\\
=\left[\dfrac{(x-\alpha)^3}{3}-(\beta-\alpha)\dfrac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta}\\
=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$
となり,求める公式を得る。

被積分関数は因数分解されており,$(x-\alpha)$ という塊を持っているので,わざわざ展開して積分を行うのではなく,$(x-\alpha)$ を基準に考えることで計算量を大きく減らすことができています。また,この場合は積分区間の下端が $\alpha$ なので平行移動のテクニックの威力が倍増しています。(積分された関数に $x=\alpha$ を代入すると0になるので面倒な計算が不要)

放物線と放物線で囲まれた部分の面積

放物線と直線の場合と同様にして以下の公式が導かれます:

放物線 $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ と,$y=a_2x^2+b_2x+c_2$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき,
2つの放物線で囲まれた部分の面積は,
$\dfrac{\left|a_1-a_2\right|}{6}(\beta-\alpha)^3$

この公式も使う機会が多いと思います。

重要なのは低次の多項式で表される曲線同士で囲まれた部分の面積を求める問題は,平行移動の手法を使うことで計算が楽になるということです。これを応用すれば3次関数と直線で囲まれた部分面積や3次関数と放物線で囲まれた部分の面積を求める計算量も大きく減らすことが出来ます。

めんどくさい積分計算ほど計算ミスしやすい問題はありません。

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