2015/05/15

指数関数のグラフの二通りの書き方

分野: 指数・対数関数  レベル: 基本公式

方針1:指数関数のグラフは,以下の三点を調べて,それをいい感じにつなげれば簡単に書ける

  • $x$ が十分小さいとき($x\to -\infty$)
  • $x=0$ のとき
  • $x$ が十分大きいとき($x\to\infty$)

y=a^x (a > 1)のグラフ

まずは一番ベーシックな指数関数 $y=a^x\:(a > 1)$ について考えます。

例題1

$y=2^x$ のグラフを書け。

指数関数のグラフ

解答

  • $x$ が十分小さいとき(例えば $x=-100$ としてみる),$y$ は $0$ に近い
  • $x=0$ のとき $y=1$
  • $x$ が十分大きいとき(例えば $x=100$ としてみる),$y$ は爆発的に大きい

以上より,まず青い点を3つ書いてそれを「いい感じ」につなぐとグラフが書ける。

注:「いい感じ」というのは「導関数が単調になるように」つまり「凹凸が途中で変化しないように」と解釈してください。

y=a^x (a <1)のグラフ

$a <1$ の場合。二通りの考え方を解説します。

例題2

$y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ のグラフを書け

指数関数のグラフ2

解答(方針1による):

  • $x$ が十分小さいとき,$y$ は爆発的に大きい
  • $x=0$ のとき $y=1$
  • $x$ が十分大きいとき,$y$ は $0$ に近い

以上より,グラフが書ける。


続いて例題2の別解。

方針2:
$y=a^x\:(a > 1)$ のグラフの形状を覚えておけば,それをもとに(平行移動,対称移動,拡大などにより)様々なグラフを書くことができる。

別解(方針2による):
例題2の関数は $y=3^{-x}$ と書けるので,$y=3^x$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動させればよい。

指数関数のグラフ(発展)

次はだいぶ複雑な関数です。

例題3

$y=1+2\cdot 3^{x-1}$

指数関数のグラフ3

解答(方針1による):

  • $x$ が十分小さいとき,$y$ は $1$ に近い
  • $x=0$ のとき $y=\dfrac{5}{3}$
  • $x$ が十分大きいとき,$y$ は爆発的に大きい

以上より,グラフが書ける。


別解(方針2による):
$y=3^x$ のグラフは簡単に書ける。これを $y$ 軸方向に二倍に拡大すると $y=2\cdot 3^x$
これを $x$ 軸方向に $1$,$y$ 軸方向に $1$ 平行移動させると $y-1=2\cdot 3^{x-1}$ となり,例題3の関数となる。

結論

・指数関数 $y=p+qr^{sx+t}$ のグラフは方針1でも方針2でも書くことができる。

・方針1の方がやや素早くできるのでオススメ。ただし,平行移動,拡大,対称移動の考え方は非常に重要なので,方針2も理解しておくべき。

簡単な関数のグラフは微分なしで概形を書けるようにしておきましょう。

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